Início » 1º ano do Ensino Médio » Matemática 1º ano » Progressão Aritmética (P.A) » Um estudante atrasou a resolução dos exercícios da sua apostila e resolveu colocá-los em dia. No primeiro dia resolveu 10 exercícios e propôs-se a, diariamente, resolver três exercícios a mais que no dia anterior. Sabendo-se que eram 413 os exercícios atrasados, o estudante gastou, para pô-los em dia:

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Um estudante atrasou a resolução dos exercícios da sua apostila e resolveu colocá-los em dia. No primeiro dia resolveu 10 exercícios e propôs-se a, diariamente, resolver três exercícios a mais que no dia anterior. Sabendo-se que eram 413 os exercícios atrasados, o estudante gastou, para pô-los em dia:

A) 28 dias.
B) 7 dias.
C) 20 dias.
D) 42 dias.
E) 14 dias.

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Resposta:

A alternativa correta é letra E

A quantidade de exercícios resolvidos por dia constituem uma Progressão Aritmética (10, 13, 16, ...) de razão 3. A quantidade total de exercícios atrasados representam a soma dos n primeiros termos dessa PA, na qual n é o número de dias necessários para resolver todos os exercícios atrasados.

A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por:

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} \\ 413 = \frac{n \cdot (10 + a_{n})}{2} \\ \frac{826}{n} = 10 + a_{n} \\ a_{n} = \frac{826}{n} - 10 (I) \end{array}

Como não sabemos o valor de an, o n-ésimo termo da PA, usaremos a fórmula do termo geral para obtermos uma segunda equação de a_n em função de n:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r \\ a_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 3 \\ a_{n} = 10 + 3 n - 3 \\ a_{n} = 7 + 3 n (I I) \end{array}

Igualando as equações (I) e (II), temos:

\begin{array}{l} \frac{826}{n} - 10 = 7 + 3 n \\ 3 n + 17 - \frac{826}{n} = 0 \end{array}

Multiplicando a equação por n:

3 n^{2} + 17 n - 826 = 0

Resolvendo a equação de 2° grau acima, temos:

\begin{array}{l} n = \frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 826)}}{2 \cdot 3} \\ n = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 9912}}{6} \\ n = \frac{- 17 \pm \sqrt{10201}}{6} \\ n = \frac{- 17 \pm 101}{6} \\ n_{1} = \frac{- 17 + 101}{6} e n_{2} = \frac{- 17 - 101}{6} \\ n_{1} = 14 n_{2} = - 19, 667 \end{array}

Como n deve ser um número natural, a solução é n = 14, portanto, são 14 os termos da PA, e 14 os dias necessários para que o estudante resolva todos os exercícios atrasados.

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