Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

21) Um dado possui seis faces numeradas de 1 a 6. As probabilidades de ocorrências das faces com os números 2, 3, 4, 5 e 6 são, respectivamente, 16, 112, 118, 127, 136. Lançando duas vezes esse dado, a probabilidade de que a soma dos números obtidos em cada lançamento seja 3 é

A) $\frac{1}{3}$ .
B) $\frac{13}{54}$ .
C) $\frac{15}{69}$ .
D) $\frac{17}{81}$ .
E) $\frac{1}{6}$ .

A alternativa correta é letra D

Inicialmente precisamos descobrir qual é a probabilidade de sair a face de número 1. Seja β a probabilidade de ocorrência da face 1, e sabendo que a soma das probabilidades das seis faces somam 1, temos:

β + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{36} = 1 \Rightarrow β + \frac{40}{108} = 1

β = \frac{17}{27}

Sabemos ainda que a única forma de os números obtidos em casa lançamento somarem 3 é se saírem: 1 e 2 ou 2 e 1. Dessa forma. a probabilidade de que isso ocorra é dada por:

\frac{17}{27} . \frac{1}{6} + \frac{1}{6} . \frac{17}{27} = \frac{34}{162} = \frac{17}{81}

Alternativa d).

Questão 22

O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 1/4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta é:

A) $13 over 32$
B) $9 over 64$
C) $3 over 4$
D) $25 over 64$
E) $13 over 16$

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A alternativa correta é letra A

Para a resolução deste problema, devemos, inicialmente, na relação pai-filho-neto, considerar todas as possibilidades para o filho, considerando que o pai tem estatura média. Em seguida, devemos analisar em cada uma dessas possibilidades de estatura do filho, quais são as probabilidades de que o neto seja de estatura alta.

A primeira possibilidade é de que o filho tenha estatura alta, e para tal, a probabilidade é de 3/8. Para um filho de estatura alta ter o neto também de estatura alta, a probabilidade é de 5/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}

A segunda possibilidade é de que o filho tenha estatura média, e para tal, a probabilidade é de 3/8. Para um filho de estatura média ter o neto de estatura alta, a probabilidade é de 3/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}

Por fim, a última possibilidade é de que o filho tenha estatura baixa, e para tal, a probabilidade é de 1/4. Para um filho de estatura baixa ter o neto de estatura alta, a probabilidade é de 1/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32} = \frac{2}{64}

Considerando que, nos três casos apresentados anteriormente, o pai de estatura média tem um neto de estatura alta, a probabilidade total é de:

\frac{15}{64} + \frac{9}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}

Alternativa A.

Questão 23

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

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A alternativa correta é letra B

Ao analisar o mapa, podemos notar que há um país central cercado por um "anel" de países vizinhos, e, a partir desta observação, é possível afirmar que:

- O país central faz fronteira com todos os países vizinhos. Para que a coloração exigida no enunciado seja satisfeita, o país central deve ter cor única, a qual não pode se repetir em nenhum outro país.

- Os países do "anel" possuem apenas dois vizinhos cada e sua disposição geográfica é tal que, se utilizarmos duas cores distintas intercaladamente, a coloração exigida no enunciado será satisfeita para os países do "anel".

As duas afirmações juntas implicam que, se tomarmos duas cores distintas para os países do "anel" e mais uma terceira cor, distinta das duas primeiras, para o país central, teremos a coloração exigida no enunciado satisfeita. Portanto, alternativa B.

Questão 24

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro.

A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:

A) 25%
B) 30%
C) 35%
D) 40%

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A alternativa correta é letra C

Para usar pelo menos uma das lixeira corretamente temos 3 casos:
Lixeira 1 certo, lixeira 2 errado:

\frac{1}{5} . \frac{3}{4} = \frac{3}{20}

Errar lixeira 1 e acertar lixeira 2:

\frac{3}{4} . \frac{1}{5} = \frac{3}{20}

Por fim acerar as duas lixeiras:

\frac{1}{5} . \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

Já a probabilidade total desse evento é a soma de tudo:

P_{t} = P_{1} + P_{2} + P_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35 = 35 %

Alternativa correta é a Letra C

25) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:

A) 9.
B) 8.
C) 7.
D) 6.

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A alternativa correta é letra A

O número total de bolas é 5 + x. A probabilidade de serem retiradas duas bolas de mesma cor é:
duas brancas =

fraction numerator 1 x 1 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

duas pretas =

fraction numerator 4 x 4 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

duas bolas vermelhas =

fraction numerator x space. space x over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

A probabilidade total corresponde à soma igual a

1 half

. Logo:

fraction numerator 1 x 1 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

fraction numerator 4 x 4 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

fraction numerator x space. space x over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

1 half

2 (17 + x² ) = (5 + x)²
x − 10x + 9 = 0
x = 1 ou x = 9

26) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

A) $\frac{4}{27}$
B) $\frac{11}{54}$
C) $\frac{7}{27}$
D) $\frac{10}{27}$
E) $\frac{23}{54}$

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A alternativa correta é letra C

Vamos considerar A, como o conjunto das sequencias em que b é sucessor de a:

A = {(a; a + 1; c),

(1 ⩽ a ⩽ 5) e (1 ⩽ c ⩽ 6)

}

e n(A) = 5 . 6 = 30.

E, vamos considerar B, como o conjunto das sequencias em que c é sucessor de b:

B = {(a; b; b + 1),

(1 ⩽ a ⩽ 6) e (1 ⩽ b ⩽ 5)

}

e n(B) = 6 . 5 = 30.

As sequencia que pertencem a

A \cap B

são:

(1, 2, 3); (2, 3, 4); (3, 4, 5); (4, 5, 6). Assim, n(

A \cap B

) = 4.

Segue que, o número total de sequencias (a, b, c) = 6³= 216, portanto, a probalidade pedida é:

\begin{array}{l} \frac{n (A \cup B)}{216} = \frac{n (A) + n (B) - n (A \cap B)}{216} \\ = \frac{30 + 30 - 4}{216} = \frac{7}{27} \end{array}

Alternativa C.

27) Um dado convencional e honesto foi lançado três vezes. Sabendo que a soma dos números obtidos nos dois primeiros lançamentos é igual ao número obtido no terceiro lançamento, a probabilidade de ter saído um número 2 em ao menos um dos três lançamentos é igual

A) $\frac{91}{216}$
B) $\frac{7}{15}$
C) $\frac{8}{15}$
D) $\frac{7}{12}$
E) $\frac{3}{5}$

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A alternativa correta é letra C

Vamos considerar todas as possibilidades de lançamento e todos os resultados:

1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 1 + 5 = 6

Considerando que os números sejam, respectivamente, o primeiro, segundo e terceiro dados lançados vamos separar os que apresentam o número 2.

1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 1 + 5 = 6

Aplicando-se o conceito de probabilidade:

P (A) = \frac{número de casos favoráveis}{número de casos possíveis} P (A) = \frac{8}{15}

28) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de

A) $\frac{2}{9}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{4}{9}$
D) $\frac{5}{9}$
E) $\frac{2}{3}$

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A alternativa correta é letra A

Temos que os resultados formados por 2 números consecutivos, cuja soma seja um primo são:

dado 1	1	2	2	3	3	4	5	6
dado 2	2	1	3	2	4	3	6	5

Portanto, temos 8 resultados favoráveis, como são 6 x 6 = 36 resultados possíveis, então a probabilidade pedida é

\frac{8}{36} = \frac{2}{9}

Alternativa A.

Questão 29

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

A) 0,120.
B) 0,216.
C) 0,264.
D) 0,336.
E) 0,384.

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A alternativa correta é letra E

No cenário descrito no enunciado, a probabilidade de um carro ir de A até F, a partir dos caminhos

A →C →F ou A →B →D →F ou A →B →C →F

é calculado por
0,2 x 0,6 + 0,8 x 0,9 x 0,3 + 0,8 x 0,1 x 0,6 =
= 0,12 + 0,216 + 0,048 = 0,384

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

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30) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-los em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a

A) 46.
B) 59.
C) 77.
D) 83.
E) 91.

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A alternativa correta é letra D

Temos:

16,2 = 16 x 15 $\div$ 2 = 120

2 químicos: 7 x 6 $\div$ 2 = 21

2 físicos: 5 x 4 $\div$ 2 = 10

2 matemáticos: 4 x 3 $\div$ 2 = 6

120 - 21 - 10 - 6 = 83 alternativa D.

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