Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

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21) Numa pequena cidade realizou-se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em 3 grupos: alta ( A ), média ( M ) e baixa ( B ). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz

O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 1/4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta é:

A) $13 over 32$
B) $9 over 64$
C) $3 over 4$
D) $25 over 64$
E) $13 over 16$

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A alternativa correta é letra A

Para a resolução deste problema, devemos, inicialmente, na relação pai-filho-neto, considerar todas as possibilidades para o filho, considerando que o pai tem estatura média. Em seguida, devemos analisar em cada uma dessas possibilidades de estatura do filho, quais são as probabilidades de que o neto seja de estatura alta.

A primeira possibilidade é de que o filho tenha estatura alta, e para tal, a probabilidade é de 3/8. Para um filho de estatura alta ter o neto também de estatura alta, a probabilidade é de 5/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}

A segunda possibilidade é de que o filho tenha estatura média, e para tal, a probabilidade é de 3/8. Para um filho de estatura média ter o neto de estatura alta, a probabilidade é de 3/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}

Por fim, a última possibilidade é de que o filho tenha estatura baixa, e para tal, a probabilidade é de 1/4. Para um filho de estatura baixa ter o neto de estatura alta, a probabilidade é de 1/8. Sendo assim, a probabilidade pai-neto nesse caso é de:

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32} = \frac{2}{64}

Considerando que, nos três casos apresentados anteriormente, o pai de estatura média tem um neto de estatura alta, a probabilidade total é de:

\frac{15}{64} + \frac{9}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}

Alternativa A.

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22) A figura exibe um mapa representando 13 países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

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A alternativa correta é letra B

Ao analisar o mapa, podemos notar que há um país central cercado por um "anel" de países vizinhos, e, a partir desta observação, é possível afirmar que:

- O país central faz fronteira com todos os países vizinhos. Para que a coloração exigida no enunciado seja satisfeita, o país central deve ter cor única, a qual não pode se repetir em nenhum outro país.

- Os países do "anel" possuem apenas dois vizinhos cada e sua disposição geográfica é tal que, se utilizarmos duas cores distintas intercaladamente, a coloração exigida no enunciado será satisfeita para os países do "anel".

As duas afirmações juntas implicam que, se tomarmos duas cores distintas para os países do "anel" e mais uma terceira cor, distinta das duas primeiras, para o país central, teremos a coloração exigida no enunciado satisfeita. Portanto, alternativa B.

23)

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro.

A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:

A) 25%
B) 30%
C) 35%
D) 40%

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A alternativa correta é letra C

Para usar pelo menos uma das lixeira corretamente temos 3 casos:
Lixeira 1 certo, lixeira 2 errado:

\frac{1}{5} . \frac{3}{4} = \frac{3}{20}

Errar lixeira 1 e acertar lixeira 2:

\frac{3}{4} . \frac{1}{5} = \frac{3}{20}

Por fim acerar as duas lixeiras:

\frac{1}{5} . \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

Já a probabilidade total desse evento é a soma de tudo:

P_{t} = P_{1} + P_{2} + P_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35 = 35 %

Alternativa correta é a Letra C

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24) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:

A) 9.
B) 8.
C) 7.
D) 6.

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A alternativa correta é letra A

O número total de bolas é 5 + x. A probabilidade de serem retiradas duas bolas de mesma cor é:
duas brancas =

fraction numerator 1 x 1 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

duas pretas =

fraction numerator 4 x 4 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

duas bolas vermelhas =

fraction numerator x space. space x over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

A probabilidade total corresponde à soma igual a

1 half

. Logo:

fraction numerator 1 x 1 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

fraction numerator 4 x 4 over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

fraction numerator x space. space x over denominator left parenthesis 5 plus x right parenthesis squared end fraction

1 half

2 (17 + x² ) = (5 + x)²
x − 10x + 9 = 0
x = 1 ou x = 9

25) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

A) $\frac{4}{27}$
B) $\frac{11}{54}$
C) $\frac{7}{27}$
D) $\frac{10}{27}$
E) $\frac{23}{54}$

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A alternativa correta é letra C

Vamos considerar A, como o conjunto das sequencias em que b é sucessor de a:

A = {(a; a + 1; c),

(1 ⩽ a ⩽ 5) e (1 ⩽ c ⩽ 6)

}

e n(A) = 5 . 6 = 30.

E, vamos considerar B, como o conjunto das sequencias em que c é sucessor de b:

B = {(a; b; b + 1),

(1 ⩽ a ⩽ 6) e (1 ⩽ b ⩽ 5)

}

e n(B) = 6 . 5 = 30.

As sequencia que pertencem a

A \cap B

são:

(1, 2, 3); (2, 3, 4); (3, 4, 5); (4, 5, 6). Assim, n(

A \cap B

) = 4.

Segue que, o número total de sequencias (a, b, c) = 6³= 216, portanto, a probalidade pedida é:

\begin{array}{l} \frac{n (A \cup B)}{216} = \frac{n (A) + n (B) - n (A \cap B)}{216} \\ = \frac{30 + 30 - 4}{216} = \frac{7}{27} \end{array}

Alternativa C.

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26) Um dado convencional e honesto foi lançado três vezes. Sabendo que a soma dos números obtidos nos dois primeiros lançamentos é igual ao número obtido no terceiro lançamento, a probabilidade de ter saído um número 2 em ao menos um dos três lançamentos é igual

A) $\frac{91}{216}$
B) $\frac{7}{15}$
C) $\frac{8}{15}$
D) $\frac{7}{12}$
E) $\frac{3}{5}$

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A alternativa correta é letra C

Vamos considerar todas as possibilidades de lançamento e todos os resultados:

1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 1 + 5 = 6

Considerando que os números sejam, respectivamente, o primeiro, segundo e terceiro dados lançados vamos separar os que apresentam o número 2.

1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 1 + 5 = 6

Aplicando-se o conceito de probabilidade:

P (A) = \frac{número de casos favoráveis}{número de casos possíveis} P (A) = \frac{8}{15}

27) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de

A) $\frac{2}{9}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{4}{9}$
D) $\frac{5}{9}$
E) $\frac{2}{3}$

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A alternativa correta é letra A

Temos que os resultados formados por 2 números consecutivos, cuja soma seja um primo são:

dado 1	1	2	2	3	3	4	5	6
dado 2	2	1	3	2	4	3	6	5

Portanto, temos 8 resultados favoráveis, como são 6 x 6 = 36 resultados possíveis, então a probabilidade pedida é

\frac{8}{36} = \frac{2}{9}

Alternativa A.

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28) Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

A) 0,120.
B) 0,216.
C) 0,264.
D) 0,336.
E) 0,384.

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A alternativa correta é letra E

No cenário descrito no enunciado, a probabilidade de um carro ir de A até F, a partir dos caminhos

A →C →F ou A →B →D →F ou A →B →C →F

é calculado por
0,2 x 0,6 + 0,8 x 0,9 x 0,3 + 0,8 x 0,1 x 0,6 =
= 0,12 + 0,216 + 0,048 = 0,384

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

29) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-los em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a

A) 46.
B) 59.
C) 77.
D) 83.
E) 91.

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A alternativa correta é letra D

Temos:

16,2 = 16 x 15 $\div$ 2 = 120

2 químicos: 7 x 6 $\div$ 2 = 21

2 físicos: 5 x 4 $\div$ 2 = 10

2 matemáticos: 4 x 3 $\div$ 2 = 6

120 - 21 - 10 - 6 = 83 alternativa D.

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30) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo.

A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é:

A) 0,25
B) 0,24
C) 0,20
D) 0,09
E) 0,00

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A alternativa correta é letra D

Devemos analisar todas as possibilidades de troca, partindo da marca B e chegando após duas compras à marca C. No primeiro caso, da marca B troca para marca A, e troca para marca C:

0,3 × 0,2 = 0,06

No segundo caso, da marca B troca para marca B, e troca para marca C:

0,5 × 0,0 = 0

Então, no terceiro caso, da marca B troca para marca C, e troca para marca C

0,0 × 0,4 = 0

No quarto caso, da marca B troca para marca D, e troca para marca C:

0,1 × 0,2 = 0,02

E, por fim, no quinto caso, da marca B troca para marca E, e troca para marca C

0,1 × 0,1 = 0,01

Para definirmos a probabilidade de um proprietário da marca B após duas compras, adquirir um carro da marca C, devemos somar as probabilidades calculadas.

0,06 + 0 + 0 + 0,02 + 0,01 = 0,09

Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

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