Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

51) Uma prova é constituída de 12 questões do tipo múltipla escolha, cada uma delas com 5 alternativas. Um candidato pretende fazer esta prova “chutando” todas as respostas, assinalando uma alternativa por questão sem qualquer critério de escolha. A probabilidade de ele acertar 50% da prova é

A) 924 . ${(\frac{4}{5})}^{6}$
B) 792 · ${(\frac{4}{5})}^{6}$
C) 924 · ${(\frac{1}{5})}^{6}$
D) 924 · ${(\frac{2}{5})}^{12}$
E) 792 · ${(\frac{2}{5})}^{12}$

A alternativa correta é letra D

Em uma prova com questões com 5 alternativas cada, quando um candidato faz um "chute", a probabilidade de acertar é de 1/5, e de errar, 4/5. Tendo a prova 12 questões, as seis questões que serão acertadas pelo candidato podem organizar-se segundo C_12,6 maneiras:

\begin{array}{l} C_{12, 6} = \frac{12!}{6! \cdot (12 - 6)!} \\ C_{12, 6} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ C_{12, 6 =} \frac{2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7}{2} \\ C_{12, 6} = 924 \end{array}

Desta forma, a probabilidade de um candidato acertar as 6 questões dentre as 12, escolhendo aleatoriamente entre uma das 5 alternativas, é dada por:

\begin{array}{l} P = 924 \cdot {(\frac{1}{5})}^{6} \cdot {(\frac{4}{5})}^{6} \\ P = 924 \cdot \frac{4^{6}}{5^{12}} \\ P = 924 \cdot \frac{2^{12}}{5^{12}} \\ P = 924 \cdot {(\frac{2}{5})}^{12} \end{array}

Alternativa D.

52) A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é:

A) 60%
B) 50%
C) 45%
D) 37,5%
E) 25%

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A alternativa correta é letra D

Primeiro devemos calcular a permutação com repetição para obter todas as combinações possíveis em qualquer ordem para que esse casal tenha 2 meninos e 2 meninas.

P₁₆ com repetição 2,2 = 4!/(2!*2!) = 6

Há 16 possibilidades, onde apenas 6 atende a proporção 2 meninos e 2 meninas, assim a probabilidade é de 6/16 = 37%

Alternativa D.

Questão 53

Dois dos 100 doadores das bolsas indicadas na tabela
pretendem voltar ao hospital para fazer nova doação de uma bolsa de sangue cada um. Considerando que os dados da tabela não tenham se alterado até que essas duas pessoas voltem a fazer sua doação, a probabilidade de que a proporção de bolsas do grupo sanguíneo AB, desse hospital, passe a ser igual a 117
do total de bolsas após essas duas novas doações é de

A) $\frac{1}{425}$
B) $\frac{1}{625}$
C) $\frac{1}{289}$
D) $\frac{1}{825}$
E) $\frac{1}{51}$

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A alternativa correta é letra D

Sendo 1/17 = 6/102, podemos afirmar que as duas novas doações deverão

ser de doadores do grupo AB. Dessa forma, a probabilidade pedida é

dada por C_4,2 / C_100,2 = (4!/2!2!)/(100!/2!98!) = 1/825

54) A probabilidade de se ter pelo menos duas caras em um lançamento de três moedas é:

A) $\frac{3}{8}$
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{1}{4}$
D) $\frac{1}{3}$
E) $\frac{3}{4}$

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A alternativa correta é letra B

A somatória de:

Probabilidade de ter-se cara, cara e coroa = 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8

Probabilidade de ter-se cara, coroa e cara = 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8

Probabilidade de ter-se coroa, cara e cara = 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8
Probabilidade de ter-se cara, cara e cara = 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8

Somando as probabilidades, temos

Total = 4/8 = 1/2

Alternativa B.

55) Os conjuntos {A, B, C, D, E} e {mAB,mBC,mCD,mDE,mEA} indicam, respectivamente, os pontos no sistema de coordenadas cartesianas que definem os vértices de um pentágono regular, e os coeficientes angulares das retas suportes dos lados desse pentágono. Após sorteio aleatório de um elemento de cada conjunto, determina-se a equação da reta que passa pelo ponto sorteado, e que tem coeficiente angular igual ao sorteado. A probabilidade de que a reta determinada seja paralela não coincidente a uma reta suporte do lado do pentágono é

A) 9/25.
B) 2/5.
C) 5/9.
D) 3/5.
E) 9/14.

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A alternativa correta é letra D

Dado o vértice de um pentágono, todas as 5 retas possiveis são paralelas a laguma lado do pentágono, já que os coeficientes angulares são iguais aos dos lados.Destas 2 coincidem com as retas suportes de algum lado.

Portanto, a probabilidade pedida é:

\frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}

Alternativa D.

Questão 56

Se trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo “e” na aposta de cada um, o jogador que terá maior redução nas suas chances de acertar o resultado, em decorrência
dessa troca, será

A) Ana.
B) Bruna.
C) Carlos.
D) Diego.
E) Érica.

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A alternativa correta é letra D

Deve-se analisar a probabilidade de "e" e "ou" para todos os participantes e comparar a redução obtida.

Ana:

Face branca ou número par: 5/6

Face branca e número par: 2/6
redução: 3/6=1/2

Bruna:

Face branca ou número menor que 5: 4/6
Face branca e número menor que 5: 1/6
redução: 3/6=1/2

Carlos:

Face preta ou número menor que: 2: 2/6
Face preta e número menor que 2: 1/6
redução: 1/6

Diego:

Face preta ou número maior que 2: 5/6
Face preta e número maior que 2: 1/6
redução: 4/6=2/3

Erica:

Face branca ou número menor que 4: 5/6
Face branca e número maior que 4: 2/6
redução: 3/6=1/2

Assim, a maior redução se dará para Diego.

Questão 57

Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca de

A) 76%.
B) 34%.
C) 81%.
D) 39%.

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A alternativa correta é letra A

Sabe-se, do enunciado, que 34% da população brasileira possui sangue A+. Sabe-se também que o aglutinogênio A está presente nos sangues A+, A-, AB+ e AB-, portanto, a porcentagem total dos brasileiros que possuem aglutinogênio A no sangue é dada por:

34% + 8% + 2,5% + 0,5% = 45%

Sendo assim, a probabilidade de encontrar um cidadão com o sangue A+ dentre a população que possui aglutinogênio A no sangue é dada por:

\frac{34 %}{45 %} ≅ 0, 76 = 76 %

Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

58) Numa certa região, uma operadora telefônica utiliza 8 dígitos para designar seus números de telefones, sendo que o primeiro é sempre 3, o segundo não pode ser 0 e o terceiro número é diferente do quarto. Escolhido um número ao acaso, a probabilidade de os quatro últimos algarismos serem distintos entre si é

A) $\frac{63}{125}$
B) $\frac{567}{1250}$
C) $\frac{189}{1250}$
D) $\frac{63}{1250}$
E) $\frac{7}{125}$

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A alternativa correta é letra A

A questão exige conhecimentos sobre teoria de probabilidades, mais especificamente sobre a probabilidade de um evento aleatório. O espaço amostral U considerado é o conjunto de todas as combinações dos quatro últimos dígitos do número do telefone. O evento A em questão é tal que os quatro últimos dígitos sejam distintos. Sendo #X a representação para o número de elementos de um conjunto X, temos que a probabilidade P(A) de ocorrer o evento A é:

\begin{array}{l} P (A) = \frac{# A}{# U} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P (A) = \frac{10.9.8.7}{10.10.10.10} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P (A) = \frac{63}{125} \end{array}

Portanto, alternativa A.

59) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de um pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois vértices consecutivos é:

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{4}{5}$
C) $\frac{1}{5}$
D) $\frac{2}{5}$
E) $\frac{3}{5}$

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A alternativa correta é letra A

Considere os vértices A,B,C,D e E do pentágono.

As retas determinadas pelos vértice A são 4 e passam pelos pares de vértice AB, AC, AD e AE.

Dessas 4 retas, 2 ligam vértices consecutivos: AB e AE.

Portanto a probabilidade é:

P(A) = 2/4 = 1/2

Alternativa A.

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60) Dos 500 associados de um clube, 280 são mulheres e 60 estão com o pagamento de sua mensalidade atrasado, sendo que 20 destes são do sexo feminino. Tomando ao acaso um dos associados do clube, qual é a probabilidade de ele, sendo do sexo feminino, estar com o pagamento de sua mensalidade atrasado?

A) $\frac{1}{14}$
B) $\frac{1}{25}$
C) $\frac{3}{25}$
D) $\frac{4}{25}$
E) $\frac{7}{14}$

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A alternativa correta é letra B

Há 20 membros do clube que são do sexo feminino e estão com a mensalidade atrasada. Portanto a probabilidade de se escolher ao acaso um membro deste grupo é de 20/500 = 1/25.

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