Questões Sobre o Descritor D32 - Matemática - 3º ano do ensino médio
D32: Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.
1) Na figura, abaixo, estão representadas três cidades pelos pontos P, R, S e as seis rodovias existentes, que interligam essas cidades.
João partirá da cidade P em direção à cidade S.
Quantos trajetos diferentes João pode escolher para realizar essa viagem?
- A) 3.
- B) 6.
- C) 7.
- D) 9.
- E) 12.
A resposta correta é a letra C)
Observe os seguintes trajetos:
[tex] P \Longrightarrow S:\ 1\ trajeto [tex]
[tex] P \Longrightarrow R:\ 2\ trajetos [tex]
[tex] R \Longrightarrow S:\ 3\ trajetos [tex]
Logo, o total de trajetos é:
[tex] = 1 + (2 × 3) [tex]
[tex] = 1 + 6 = 7\ trajetos [tex]
Portanto, opção "C".
2) Para disciplinar o trânsito em Pedalândia, o prefeito resolveu emplacar as bicicletas da cidade. As placas são formadas por 2 vogais e 3 algarismos. O primeiro a emplacar sua bicicleta recebeu a placa mostrada na figura abaixo.
AA-000
Nessas condições, qual é o número máximo de bicicletas que podem ser emplacadas é:
- A) 2 500
- B) 4 000
- C) 6 000
- D) 25 000
- E) 30 000
A resposta correta é a letra D)
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras diferentes é:
| A | A | - | 0 | 0 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | |
| 5 | 5 | 10 | 10 | 10 |
[tex] = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 [tex]
[tex] = 25\ 000\ placas\ diferentes [tex]
Portanto, opção "D".
3) O quadro, abaixo, mostra as opções de salgados e sucos vendidos na cantina de uma escola.
Tatiane vai escolher um salgado e um suco.
De quantas maneiras diferentes ela pode fazer essa escolha?
- A) 5.
- B) 8.
- C) 15.
- D) 25.
- E) 30.
A resposta correta é a letra C)
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras diferentes é:
[tex] = (Quant.\ salgado) \cdot (Quant.\ suco) [tex]
[tex] = 5 \cdot 3 [tex]
[tex] = 15\ maneiras\ diferentes [tex]
Portanto, opção "C".
4) Juliana tem três saias: uma de couro, uma de jeans e uma de lycra. Para combinar com qualquer uma destas saias, ela tem duas blusas: uma preta e uma branca.
Contou o número de combinações possíveis que pode fazer e obteve:
- A) 5
- B) 6
- C) 10
- D) 12
- E) 15
A resposta correta é a letra B)
Pelo princípio multiplicativo, o número de combinações possíveis é:
[tex] = (Quant.\ saias) \cdot (Quant.\ blusas) [tex]
[tex] = 3 \cdot 2 [tex]
[tex] = 6\ combinações\ possíveis [tex]
Portanto, opção "B".
5) A merenda que Felipe leva para a escola tem sempre uma fruta, um sanduíche e um suco. Para arrumar sua merenda, hoje, ele vai escolher maçã, banana ou pera; sanduíche de queijo ou presunto e suco de laranja, abacaxi, pêssego ou manga.
De quantas maneiras diferentes Felipe pode preparar a sua merenda?
- A) 6.
- B) 9.
- C) 12.
- D) 24.
- E) 20
A resposta correta é a letra D)
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras diferentes é:
[tex] = (Quant.\ frutas) \cdot (Quant.\ sanduíche) \cdot (Quant.\ suco) [tex]
[tex] = 3 \cdot 2 \cdot 4 [tex]
[tex] = 24\ maneiras\ diferentes [tex]
Portanto, opção "D".
6) Numa escola, foram adotados como uniforme: três camisetas com o logotipo da escola, nas cores branca, azul e cinza; dois tipos de calça comprida, jeans escuro e preta; e o tênis deve ser todo preto ou branco.
Considerando-se essas variações no uniforme, de quantas maneiras distintas um aluno pode estar uniformizado?
- A) 7
- B) 8
- C) 10
- D) 12
- E) 36
A resposta correta é a letra D)
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras é:
[tex] = (Quant.\ camisetas) \cdot (Quant.\ calça) \cdot (Quant.\ tênis) [tex]
[tex] = 3 \cdot 2 \cdot 2 [tex]
[tex] = 12\ maneiras\ distintas [tex]
Portanto, opção "D".
7) Uma classe é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representação dos discentes na escola.
A quantidade de maneiras que poderemos fazer a escolha é:
- A) 720 maneiras.
- B) 360 maneiras.
- C) 120 maneiras.
- D) 90 maneiras.
- E) 30 maneiras.
A resposta correta é a letra C)
O problema refere-se a combinação simples, pois a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Logo:
[tex] = C_{(alunos)} [tex]
[tex] = C_{10,3} [tex]
[tex] = \frac{10!}{3!\ (10-3)!} [tex]
[tex] = \frac{10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8\ \cdot\ 7!}{3!\ \cdot\ 7!} [tex]
[tex] = \frac{10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8}{3\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1} [tex]
[tex] = \frac{720}{6} [tex]
[tex] = 120\ comissões\ distintas [tex]
Portanto, opção "C".
8) Flamengo, Palmeiras, Internacional, Cruzeiro, Bahia, Náutico e Goiás disputam um torneio em cuja classificação final não pode haver empates.
Qual é o número de possibilidades de classificação para os três primeiros lugares desse torneio?
- A) 21
- B) 24
- C) 42
- D) 210
- E) 343
A resposta correta é a letra D)
O problema refere-se a um arranjo, pois a ordem dos elementos no agrupamento interfere. Logo:
[tex] = (1º\ lugar) \cdot (2º\ lugar) \cdot (3º\ lugar) [tex]
[tex] = 7 \cdot 6 \cdot 5 [tex]
[tex] = 210\ possibilidades [tex]
Portanto, opção "D".
9) Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada usando-se apenas as 6 cores de tinta que ele possui?
- A) 6
- B) 15
- C) 20
- D) 30
- E) 60
A resposta correta é a letra D)
Como o pintor dispõe de 6 cores diferentes e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. Então, ele tem 6 cores para pintar o interior e, 5 para o exterior da casa. Portanto, pelo princípio multiplicativo, temos:
[tex] = 6 \cdot 5 [tex]
[tex] = 30\ maneiras\ distintas [tex]
Logo, opção “D”.
10) Os membros de uma banca examinadora escolheram 7 questões de Matemática, 5 questões de Português e 4 questões de Ciências. Desse grupo de questões, eles irão sortear 2 questões de Matemática, 2 de Português e 1 de Ciências para compor uma prova de um concurso.
Quantas provas diferentes poderão ser elaboradas para esse concurso?
- A) 140
- B) 280
- C) 560
- D) 700
- E) 840
A resposta correta é a letra E)
O problema refere-se a combinação simples, pois a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Logo:
[tex] = C_{(Mat.)} \cdot C_{(Port.)} \cdot C_{(Ciên.)} [tex]
[tex] = C_{7,2} \cdot C_{5,2} \cdot C_{4,1} [tex]
[tex] = \frac{7!}{2! (7-2)!} \cdot \frac{5!}{2!(5-2)} \cdot \frac{4!}{1!(4-1)} [tex]
[tex] = \frac{7\ \cdot\ 6\ \cdot\ 5!}{2!\ \cdot\ 5!} \cdot\ \frac{5\ \cdot\ 4\ \cdot\ 3!}{2!\ \cdot\ 3!} \cdot\ \frac{4\ \cdot\ 3!}{1!\ \cdot\ 3!} [tex]
[tex] = \frac{42}{2} \cdot \frac{20}{2} \cdot \frac{4}{1} [tex]
[tex] = 21 \cdot 10 \cdot 4 [tex]
[tex] = 840\ provas\ diferentes [tex]
Portanto, opção "E".