A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.1

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado

A medida encontrada pelo engenheiro foi

A) $4pi$
B) $8pi$
C) $48pi$
D) $64pi$
E) $192pi$

Resposta:

A alternativa correta é letra D)

Sejam

R = Raio do passeio

r = raio do chafariz

AD = DB já que os triângulos AOD e DOB são semelhantes com OC em comum. Então, $OA=OB=R$ e $Ohat{D}B=Ohat{D}A=90^{circ}$

Por simetria, $bar{AC}=bar{CB}=bar{AB}=16 thinspace cm$ . Então, o triângulo ABC é equilátero.

$Ahat{C}B=60^{circ} Rightarrow Ohat{C}B=30^{circ}.$ Como $OC=OB=R$ , então o triângulo OCB é isósceles, logo $Ohat{B}C=Ohat{C}B=30^{circ}$

Por simetria, os triângulos AOB e BOC são semelhantes, logo $Ohat{B}A=Ohat{B}C=30^{circ}$ .

Desta forma, o triângulo OBD fica

Inserir figura

$R=frac{8}{cos thinspace 30^{circ}}=frac{8}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{16sqrt{3}}{3}$

$r=Rcdot senthinspace 30^{circ}=frac{8sqrt{3}}{3}$

Como se deseja calcular a área do passeio, temos

$A_{passeio}=pi R^2-pi r^2=pileft(R^2-r^2 right )$

$A_{passeio}=pileft(frac{16}{9}^2cdot 3-frac{8}{9}^2cdot 3 right )=pileft(frac{16^2-8^2}{3} right )=64pi$

Alternativa D

Continua após a publicidade..

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.1

Resposta:

Deixe um comentário Cancelar resposta