Prova de Matemática do ENEM 2018 Resolvida

31) Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

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A alternativa correta é letra E)

Urna A Urna B Urna C Urna D

3 Brancos 6 Brancos 2 Pretos 3 Brancos

2 Pretas 3 Pretas 2 Verdes 3 Pretos

1 Verde 1 verde

Opções

1) Urna A : Primeira preta: $P1=frac{2}{6}$

Segunda preta: $P2=frac{1}{5}$ = $P = frac{2}{6}cdot frac{1}{5}=frac{1}{15}$

2) Urna B: Primeira Preta: $P1 = frac{3}{10}$

= $P = frac{3}{10}cdot frac{2}{9}=frac{6}{90}=frac{1}{15}$

Segunda Preta: $P2 = frac{1}{5}$

3) Temos 2 opções:

1ª) A bola retirada de C é preta;

2ª) A bola retirade de C não é preta;

Urna C:

1ª) $P1=frac{2}{4}=frac{1}{2}$

2ª) $P2=frac{2}{4}=frac{1}{2}$

Temos, portante, as seguintes situações

1ªSituação:

Urna C Urna A

$Preta P1 = frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 3 BRANCOS\ 3 PRETOS\ 1 VERDE end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: P1 = frac{3}{7}\ Segunda Preta P2 = frac{2}{6}\ end{matrix}right.$

P = $frac{1}{2}cdot frac{3}{7} cdot frac{1}{3} = frac{1}{14}$

2ª) Situação

Urna C

$Nao Preta sP2 = frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 2 Pretas\ 2 Verdes end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: P1=frac{2}{7}\ Segunda Preta: P2=frac{1}{6}\ end{matrix}right.$

$P=frac{1}{2}cdot frac{2}{7}cdot frac{1}{6} = frac{1}{42}$ = $frac{1}{14}+frac{1}{42}=frac{4}{42}=frac{2}{21}$

4) Da mesma forma, temos 2 opções(situações)

1ª)Situação

Urna D Urna C

$Preta P1=frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 3 Pretas\ 2 Verdes\ end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: frac{3}{5}\ Segunda Preta: frac{2}{4} end{matrix}right. P=frac{1}{2}cdot frac{3}{5}cdot frac{2}{4}=frac{3}{20}$ 2ªSituação

Urna D Urna C

$nao preta p2=frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 2 Pretas\ 2 Verdes\ 1 Brancas end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: frac{2}{5}\ Segunda Preta: frac{1}{4}\ end{matrix}right. P = frac{1}{2} cdot frac{2}{5} cdot frac{1}{4} = frac{1}{20}$ $P=frac{3}{20}+frac{1}{20}=frac{4}{20}=frac{1}{5}$

1 ªSituação

Urna C Urna D

$naopreta P1= frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 4 Pretas\ end{matrix}right. begin{Bmatrix} PrimeiraPreta:frac{4}{7}\ SegundaPreta: frac{3}{6}\ end{Bmatrix}$ $P=frac{1}{2}cdot frac{4}{7}cdot frac{3}{6}=frac{1}{7}$

2ª) Situação

$naopreta p=frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 3Pretas\ 1 Verde end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta:frac{3}{7}\ Segunda Preta: frac{2}{6}\ end{matrix}right. P= frac{1}{2} cdot frac{3}{7}cdot frac{2}{6} = frac{1}{14}$ $P= frac{1}{7}+frac{1}{14}=frac{3}{14}$

Logo, a opção 5 tem maior probabilidade

(E)

Questão 32

A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.

Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%.

Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa.

Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser

A) Elevado em 40 cm.
B) Elevado em 50 cm.
C) Mantido no mesmo nível.
D) Rebaixado em 40 cm.
E) Rebaixado em 50 cm.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

1) A inclinação da rampa inicial é 2 m * 8 m, então X%= $frac{100}{4}$ = 25% > 20% (20% é a inclinação máxima exigida).

2) Como a distância horizontal, 8 m, continua a mesma, então, X%=20%= $frac{H}{8 m} rightarrow H= 8cdot 20cm = 160 cm$

3) A rampa inicial era 200 cm e a final era 160 cm, logo, o nível da garagem é elevada em 40 cm.

33) Uma empresa deseja iniciar uma campanha publicitária divulgando uma promoção para seus possíveis consumidores. Para esse tipo de campanha, os meios mais viáveis são a distribuição de panfletos na rua e anúncios na rádio local. Considera-se que a população alcançada pela distribuição de panfletos seja igual à quantidade de panfletos distribuídos , enquanto que a alcançada por um anúncio na rádio seja igual à quantidade de ouvintes desse anúncio. O custo de ada anúncio na rádio é de R$ 120,00, e a estimativa é de que seja ouvido por 1500 pessoas. Já a produção e a distribuição dos panfletos custam R$ 180,00 cada 1000 unidades. Considerando que cada pessoa será alcançada por um único desses meios de divulgação, a empresa pretende investir em ambas as mídias.

A) $frac{50x}{4}+frac{50y}{9}$
B) $frac{50x}{9}+frac{50y}{4}$
C) $frac{4x}{50}+frac{4y}{50}$
D) $frac{50}{4x}+frac{50}{9y}$
E) $frac{50}{4x}+frac{50y}{9y}$

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A alternativa correta é letra A)

x - o valor gasto em anúncio no radio

y - o valor gasto com panfletos

1) Rádio: cada R$120,00 com 1 anúncio alcança-se 1500 pessoas, supondo que n_x pessoas sejam alcançadas:

$N_x = frac{x}{120} cdot 1500 = frac{xcdot50}{4}$

2) Panfletos: cada R$ 180,00 produz 1000 unidades de panfletos considerando que cada um seja distribuído e que N_y é o numero de pessoas que receberam panfletos, então

$N_y = frac{y}{180}cdot 1000 = frac{ycdot 100}{18} = frac{y cdot50}{9}$

3) O número de pessoas alcançadas é N = Ny + Nx:

$N= frac{50x}{4} + frac{50y}{9}$

34) O colesterol total de uma pessoa é obtido pela soma da taxa do seu “colesterol bom” com taxa do seu “colesterol ruim”. Os exames periódicos, realizados em um paciente adulto, apresentam taxa normal de “colesterol bom”, porém, taxa do “colesterol ruim” (também chamado LDL) de 280 mg/dL.

A) Ótima
B) Próxima de ótima
C) Limite
D) Alta
E) Muito alta

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A alternativa correta é letra D)

Como o LDL do paciente é de 280 mg/dl:

No primeiro teste, o LDL do paciente deu 280 – 280 * 25% (redução de 25%), logo, o LDL do paciente deu 210 mg/dl

No segundo teste, o LDL deu 210 – 210 * 20% (redução de 20%), logo, o LDL deu 168 mg/dl

La na tabela fornecida, a faixa entre 160 e 189 mg/dl

possui uma taxa alta de LDL. Logo a resposta é alta.

35) Numa atividade de treinamento realizada no Exército de um determinado país, três equipes – Alpha, Beta e Gama – foram designadas a percorrer diferentes caminhos, todos com os mesmos pontos de partida e de chegada.

A) d_{Gama <}d_{Beta <}d_Alpha
B) d_{Alpha =}d_{Beta <}d_Gama
C) d_{Gama <}d_{Beta =} d_Alpha
D) d_Beta< d_Alpha< d_Gama
E) d_Gama< d_Alpha< d_Beta

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

ALPHA = d_alpha = Vmedia alpha * tempo_alpha= 6,0km/h * 90 min, 1 min = 1/60 hora,logo, d_alpha = 9,0km

BETA = d_beta = Vmedia_beta * Tempo_beta = 5,0 km/h * 90 min = 7,5km

GAMA = d_{gama =}Vmedia_{gama *}Tempo_gama= 6,5 km * 60 min = 605km, logo, sendo d_gama= 6,5 km

Então d_{gama <}d_beta < d_alpha

36) A Comissão Interna de Prevençao de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários, norteará as ações da empresa na política de segunrança no trabalho. Os resultados obtidos no quadro.

A) 0,15
B) 0,30
C) 0,50
D) 1,11
E) 2,22

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) nº de acidentes: 17*1+15*2+10*3+6*4+2*5 = 111

nº de funcionários: 100

2) A média do número de acidentes por funcionário é nº de acidentes / nº de funcionários = $frac{111}{100} = 1,11$

37) Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.

A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

Sendo $T_1,T_2,T_3,T_4$ e $T_5$ os tempos totais de espera nas máquinas 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente, temos que:

$T_1=35times5=175s$

$T_2=25times6=150s$

$T_3=22times7=154s$

$T_4=40times4=160s$

$T_5=20times8=160s$

Inspecionando os valores, percebemos que o passageiro minimizará seu tempo de espera se optar pela máquina 2.

38) Os tipos de prata normalmente vendidos são 975, 950 e 925. Essa classificação é feita de acordo com a sua pureza. Por exemplo, a prata 975 é a substância constituída de 975 partes de prata pura e 25 partes de cobre em 1 000 partes da substância. Já a prata 950 é constituída de 950 partes de prata pura e 50 de cobre em 1 000; e a prata 925 é constituída de 925 partes de prata pura e 75 partes de cobre em 1 000. Um ourives possui 10 gramas de prata 925 e deseja obter 40 gramas de prata 950 para produção de uma joia.

A) 29,25 e 0,75
B) 28,75 e 1,25
C) 28,50 e 1,50
D) 27,75 e 2,25
E) 25,00 e 5,00

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A alternativa correta é letra B)

Os 40 gramas de prata 950 que o ourives deseja fabricar devem ser compostos de:

$40times950/1000=38g$ de prata; e:

$40times50/1000=2g$ .

Já os 10 gramas de prata 925 que ele já possui são compostos de:

$10times925/1000=9,25g$ de prata; e:

$10times75/1000=0,75g$ de cobre.

Portanto, faltam $38-9,25=28,75g$ de prata e $2-0,75=1,25g$ de cobre.

Questão 39

$F=frac{km}{r^2}$

No plano cartesiano, três satélites A, B e C, estão representados, cada um, por um ponto (m ; r) cujas coordenadas são, respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra.

Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico, deseja-se comparar as intensidades $F_A$ , $F_B$ e $F_C$ da força gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites $A$ , $B$ e $C$ , respectivamente.

As intensidades $F_A$ , $F_B$ e $F_C$ , expressas no gráfico, satisfazem a relação

A) $F_C=F_A<F_B$
B) $F_A=F_B<F_C$
C) $F_A<F_B<F_C$
D) $F_A<F_C<F_B$
E) $F_C<F_A<F_B$

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E)

Sendo $(m_A,m_B,m_C)$ as massas e $(r_A,r_B,r_C)$ os raios dos satélites $A, B$ e $C$ , respectivamente, temos, do gráfico, que:

$left{begin{matrix}m_A=m_C \ r_A=r_B \ r_C > r_A=r_B \ m_B > m_A = m_C end{matrix}right.$

Portanto,

$left{begin{matrix}frac{km_A}{r_A^2}>frac{km_C}{r_C^2} Rightarrow F_A > F_C \ frac{km_A}{r_A^2}<frac{km_B}{r_B^2} Rightarrow F_A < F_B end{matrix}right.$ ,

ou:

$F_C<F_A<F_B$

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40) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.

A) R$ 512 000,00
B) R$ 520 000,00
C) R$ 528 000,00
D) R$ 552 000,00
E) R$ 584 000,00

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A alternativa correta é letra C)

Do enunciado, temos que as distâncias dos postes à praça (80, 100, 120, …) formam uma progressão aritmética de razão:

$100-80=20$

Também no enunciado, é dada a informação de que o último poste fica a 1380 metros da praça. Sendo $a_1,a_2,...,a_m$ uma progressão aritmética de razão $r$ , é válida a relação:

$a_k=a_1 +(k-1)times r$ ,

para todo $k in [1,m]$ .

Portanto, no caso da progressão formada pelas distâncias dos postes, sendo $n$ o número de postes necessários, temos que:

$1380=80 +(n-1)times 20 Rightarrow 1300=(n-1)times20 Rightarrow n-1=frac{1300}{20}=65 Rightarrow n=65+1=66$

Portanto, como a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 pelos postes, temos que o preço máximo pago pela obra será de:

$66times8000= mathrm{R} $ , 528000$

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