Prova de Matemática do ENEM 2018 Resolvida

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41) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas.

No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:

Modelo	Comprimento (cm)	Largura (cm)	Altura (cm)
I	8	8	40
II	8	20	14
III	18	5	35
IV	20	12	12
V	24	8	14

Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A alternativa correta é letra D)

x y z x y z

Modelo I: 2 2 6 24

Modelo II: 2 5 2 20

Modelo III: 4 1 5 20

Modelo IV: 5 3 2 30

Modelo V: 6 2 2 24

Então escolhemos o modelo IV

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42) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de , conforme a figura,12

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).

Considere o valor de $pi$ com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

A) $frac{2 cdot pi cdot 1}{3} + 8$
B) $frac{2 cdot pi cdot 2}{3} + 6$
C) $frac{2 cdot pi cdot 3}{3} + 4$
D) $frac{2 cdot pi cdot 4}{3} + 2$
E) $frac{2 cdot pi cdot 5}{3} + 2$

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A alternativa correta é letra A)

Considerando as distâncias percorridas entre a semirreta que passa por B e a semirreta que passa por A através das malhas de circunferências temos as seguintes possibilidades:

1) r = 1 = $frac{2 pi r}{12}$ . 4 = $frac{2 pi}{3}$ 2) r = 2 : $frac{2 pi r}{12}$ . 4 = $frac{4 pi}{3}$

3) r = 3 = $frac{2 pi r}{12}$ . 4 = $frac{2 pi . 3}{12}$ . 4 = 2 $pi$ 4) r = 4 : $frac{2pi . 4}{12}$ . 4 = $frac{8pi}{3}$

5) r = 5 = $frac{2pi r}{12}$ . 4 = $frac{2pi . 5}{12}$ . 4 = $frac{10pi}{3}$ 6) r = 6 : $frac{2pi . 6}{12}$ . 4 = 4 $pi$

No caso 1) , B percorre $frac{2pi }{3}$ + (4 - 1) + (6 - 1) = $frac{2pi }{3}$ + 8 $Rightarrow$ resultado: R1

No caso 2) , B percorre $frac{4pi }{3}$ + (4 - 2) + (6 - 2) = $frac{4pi }{3}$ + 6 $Rightarrow$ resultado: R2

No caso 3) , B percorre $2pi$ + (4 - 3) + (6 - 3) = $2pi$ + 4 $Rightarrow$ resultado: R3

No caso 4) , B percorre $frac{8pi }{3}$ + (4 - 4) + (6 - 4) = $frac{8pi }{3}$ + 2 $Rightarrow$ resultado: R4

No caso 5) , B percorre $frac{10pi }{3}$ + (5 - 4) + (6 - 5) = $frac{10pi }{3}$ + 2 $Rightarrow$ resultado: R5

No caso 6) , B percorre $4pi$ + (6 - 4) + (6 - 6) = $4pi$ + 2 $Rightarrow$ resultado: R6

Observando quem é maior percebe-se a relação:

$R1< R2 < R3 < R4 < R5 < R6$ , logo a resposta é $frac{2pi }{3}$ + 8 $Rightarrow$ A

43) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2).

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

A) x = 0
B) y = 0
C) x² + y² = 16
D) x² + (y – 2)² = 4
E) (x – 2)² + (y – 2)² = 8

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A alternativa correta é letra E)

x = 0 $Rightarrow$ A + E $Rightarrow$ 2 pontos (reta verde)

y = 0 $Rightarrow$ C $Rightarrow$ 1 ponto (reta azul)

x² + y²= 16 $Rightarrow$ A + C $Rightarrow$ 2 pontos

Circunferência centrada na origem e de raio igual a 4. (circunferência laranja)

x²+ (y – 2)² = 4 $Rightarrow$ D e A $Rightarrow$ 4 pontos

Circunferência centrada em (0,2) com raio igual a 2. (circunferência lilás)

(x-2)²+ (y-2)² = 8 $Rightarrow$ A, B e C $Rightarrow$ 6 pontos $Rightarrow$ E

Circunferência centrada em (2,2) com raio igual a 2√2. (circunferência vermelha)

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44) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

V = P · (1 + i)ⁿ

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juro de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para $mathrm{ln left (frac{4}{3} right )}$ e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

A) 56ª
B) 55ª
C) 52ª
D) 51ª
E) 45ª

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A alternativa correta é letra C)

1) Uma quantia, que hoje vale p, submetida a juros compostos com taxa de 1,32% ao mês, valerá no final de um período de n meses

$p cdot (1+1,32%)^n = p cdot 1,0132^n$

2) Pelo enunciado devemos ter

$p<75% de p cdot 1,0132^n Leftrightarrow 1<frac{3}{4} cdot 1,0132^n$

3) Desenvolvendo:

$1,0132^n > frac{4}{3}$

$n cdot ln (1,0132) > ln (frac{4}{3})$

$n cdot 0,0131 > 0,2877$

$n > 21,96$

$n geq 22$

4) Logo, a primeira parcela que será antecipada é 30+22=52

45) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij], em que e , e o elemento aij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos aij = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:12

$A = begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 2 & 1 & 0\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 2 & 0 & 0\ 3 & 0 & 1 & 1 &0 end{bmatrix}$

Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco

A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

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A alternativa correta é letra A)

Está querendo o banco que mais transferiu via TED.

1ª linha -> 0+2+0+2+2 = 6

2ª linha -> 0+0+2+1+0 = 3

3ª linha -> 1+2+0+1+1= 5

4ª linha -> 0+2+2+0+0= 4

5ª linha -> 3+0+1+1+0= 5

Com isso, percebemos que o banco que mais transferiu é o Banco 1.

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