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Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir;

Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
Urna C – Possui duas bolas pretas e duas verdes;
Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas;

A pessoa deve escolher uma entre as cincos opções apresentadas:

Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso , retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A
Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resposta:

A alternativa correta é letra E)

Urna A Urna B Urna C Urna D

3 Brancos 6 Brancos 2 Pretos 3 Brancos

2 Pretas 3 Pretas 2 Verdes 3 Pretos

1 Verde 1 verde

Opções

1) Urna A : Primeira preta: $P1=frac{2}{6}$

Segunda preta: $P2=frac{1}{5}$ = $P = frac{2}{6}cdot frac{1}{5}=frac{1}{15}$

2) Urna B: Primeira Preta: $P1 = frac{3}{10}$

= $P = frac{3}{10}cdot frac{2}{9}=frac{6}{90}=frac{1}{15}$

Segunda Preta: $P2 = frac{1}{5}$

3) Temos 2 opções:

1ª) A bola retirada de C é preta;

2ª) A bola retirade de C não é preta;

Urna C:

1ª) $P1=frac{2}{4}=frac{1}{2}$

2ª) $P2=frac{2}{4}=frac{1}{2}$

Temos, portante, as seguintes situações

1ªSituação:

Urna C Urna A

$Preta P1 = frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 3 BRANCOS\ 3 PRETOS\ 1 VERDE end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: P1 = frac{3}{7}\ Segunda Preta P2 = frac{2}{6}\ end{matrix}right.$

P = $frac{1}{2}cdot frac{3}{7} cdot frac{1}{3} = frac{1}{14}$

2ª) Situação

Urna C

$Nao Preta sP2 = frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 2 Pretas\ 2 Verdes end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: P1=frac{2}{7}\ Segunda Preta: P2=frac{1}{6}\ end{matrix}right.$

$P=frac{1}{2}cdot frac{2}{7}cdot frac{1}{6} = frac{1}{42}$ = $frac{1}{14}+frac{1}{42}=frac{4}{42}=frac{2}{21}$

4) Da mesma forma, temos 2 opções(situações)

1ª)Situação

Urna D Urna C

$Preta P1=frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 3 Pretas\ 2 Verdes\ end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: frac{3}{5}\ Segunda Preta: frac{2}{4} end{matrix}right. P=frac{1}{2}cdot frac{3}{5}cdot frac{2}{4}=frac{3}{20}$ 2ªSituação

Urna D Urna C

$nao preta p2=frac{1}{2}rightarrow left{begin{matrix} 2 Pretas\ 2 Verdes\ 1 Brancas end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta: frac{2}{5}\ Segunda Preta: frac{1}{4}\ end{matrix}right. P = frac{1}{2} cdot frac{2}{5} cdot frac{1}{4} = frac{1}{20}$ $P=frac{3}{20}+frac{1}{20}=frac{4}{20}=frac{1}{5}$

1 ªSituação

Urna C Urna D

$naopreta P1= frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 4 Pretas\ end{matrix}right. begin{Bmatrix} PrimeiraPreta:frac{4}{7}\ SegundaPreta: frac{3}{6}\ end{Bmatrix}$ $P=frac{1}{2}cdot frac{4}{7}cdot frac{3}{6}=frac{1}{7}$

2ª) Situação

$naopreta p=frac{1}{2}left{begin{matrix} 3 Brancas\ 3Pretas\ 1 Verde end{matrix}right. left{begin{matrix} Primeira Preta:frac{3}{7}\ Segunda Preta: frac{2}{6}\ end{matrix}right. P= frac{1}{2} cdot frac{3}{7}cdot frac{2}{6} = frac{1}{14}$ $P= frac{1}{7}+frac{1}{14}=frac{3}{14}$

Logo, a opção 5 tem maior probabilidade

(E)

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Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Resposta:

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