Início » Prova do ENEM 2018 Resolvida » Prova de Matemática do ENEM 2018 Resolvida » Um produtor de milho utiliza uma área de 160 hectares para as suas atividades agrícolas. Essa área é dividida em duas partes: uma de 40 hectares, com maior produtividade, e outra, de 120 hectares, com menor produtividade. A produtividade é dada pela razão entre a produção, em tonelada, e a área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hectares tem produtividade igual a 2,5 vezes à da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua produção total em 15%, aumentando o tamanho da sua propriedade. Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que possui a mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras. Qual é a área mínima, em hectare, que o produtor precisará comprar?

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Um produtor de milho utiliza uma área de 160 hectares para as suas atividades agrícolas. Essa área é dividida em duas partes: uma de 40 hectares, com maior produtividade, e outra, de 120 hectares, com menor produtividade. A produtividade é dada pela razão entre a produção, em tonelada, e a área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hectares tem produtividade igual a 2,5 vezes à da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua produção total em 15%, aumentando o tamanho da sua propriedade. Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que possui a mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras. Qual é a área mínima, em hectare, que o produtor precisará comprar?

A) 36
B) 33
C) 27
D) 24
E) 21

Resposta:

A alternativa correta é letra B)

No terreno anterior são 160 hectares de terra, 40 com maior produtividade e 120 com menor produtividade.

Sendo $P_{40}$ a produtividade da parte com maior produtividade, e $P_{120}$ a produtividade da parte com menor produtividade, sabemos que $P_{40}$ é 2,5 vezes maior que $P_{120}$ , ou seja, $P_{40} = frac{5}{2} cdot P_{120}$ .

Assim, sendo $p_{40}$ e $p_{120}$ o quanto é produzido em cada terra, e utilizando a fórmula $producao=frac{producao }{area}cdot area$ , temos que:

$P_{40}=frac{p_{40}}{40}$ e $P_{120}=frac{p_{120}}{120}$ são as produtividades

$P_{40} = frac{5}{2} cdot P_{120}$

$frac{p_{40}}{40}=frac{5}{2}cdotfrac{p_{120}}{120}$

$p_{40}=frac{5}{6}cdot p_{120}$
Encontrando o total da produção:

$T=p_{40}+p_{120}$

$T=frac{5}{6}p_{120}+p_{120}=frac{11}{6}p_{120}$

Aumento de 15% da produção total:

$0,15cdot frac{11}{6}cdot p_{120}=frac{0,55}{2}cdot p_{120}=0,275cdot p_{120}$

Isto é, devemos aumentar a área de produtividade $P_{120}$ em 27,5%. Como sua área inicial era de 120 ha, por regra de três:

$frac{120 ; ha}{A}=frac{p_{120}}{0,275 cdot p_{120}}$

$A=0,275 cdot 120=33$

33 hectares de terra.

Alternativa correta é Letra B.

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Resposta:

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