Questões Sobre Juros simples - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve o cálculo do prazo de uma aplicação financeira sob o regime de juros simples. Dados os valores do montante final (R$ 1.204,60), do capital inicial (R$ 760,00, correspondente ao 13º salário) e da taxa de juros mensal (3%), podemos resolver a questão utilizando a fórmula dos juros simples:

M = C × (1 + i × t)

Onde:

• M = Montante final (R$ 1.204,60)
• C = Capital inicial (R$ 760,00)
• i = Taxa de juros mensal (3% ou 0,03)
• t = Tempo em meses (o que queremos descobrir)

Substituindo os valores na fórmula:

1.204,60 = 760 × (1 + 0,03 × t)

Primeiro, dividimos ambos os lados por 760:

1.204,60 ÷ 760 = 1 + 0,03t

1,585 = 1 + 0,03t

Subtraindo 1 de ambos os lados:

0,585 = 0,03t

Finalmente, dividimos por 0,03 para encontrar t:

t = 0,585 ÷ 0,03

t = 19,5 meses

Portanto, o prazo da aplicação foi de 19 meses e meio, o que corresponde à alternativa D).

Para resolver o problema, vamos considerar dois capitais, C1 e C2, aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital, C1, ficou aplicado por 12 meses (1 ano), enquanto o segundo, C2, por 8 meses. Sabemos que:

• A soma dos capitais: C1 + C2 = R$ 27.000,00
• A soma dos juros: J1 + J2 = R$ 5.280,00

O cálculo dos juros simples é dado por:

J = C × i × t

Portanto, temos:

J1 = C1 × 0,02 × 12 = 0,24C1

J2 = C2 × 0,02 × 8 = 0,16C2

Substituindo na soma dos juros:

0,24C1 + 0,16C2 = 5.280

Simplificando a equação:

24C1 + 16C2 = 528.000

Dividindo por 8:

3C1 + 2C2 = 66.000

Temos também a equação da soma dos capitais:

C1 + C2 = 27.000

Podemos resolver o sistema de equações:

Multiplicando a segunda equação por 2:

2C1 + 2C2 = 54.000

Subtraindo da primeira equação:

(3C1 + 2C2) - (2C1 + 2C2) = 66.000 - 54.000

C1 = 12.000

Substituindo C1 na equação C1 + C2 = 27.000:

12.000 + C2 = 27.000

C2 = 15.000

A diferença entre os capitais é:

|C1 - C2| = |12.000 - 15.000| = 3.000

Portanto, a alternativa correta é:

C) R$ 3.000,00

O problema apresentado questiona em quanto tempo um capital octuplica seu valor, considerando uma taxa de 120% ao ano com capitalização mensal simples. Para resolver essa questão, é necessário compreender os conceitos de juros simples e como eles se aplicam em períodos fracionados.

Primeiramente, é importante destacar que a capitalização mensal simples significa que os juros são calculados linearmente sobre o capital inicial a cada mês, sem incorporação ao montante para novos cálculos. A taxa anual de 120% equivale a uma taxa mensal de 10%, pois 120% dividido por 12 meses resulta em 10% ao mês.

Para que o capital octuplique, o montante final deve ser oito vezes o valor inicial. Ou seja, se o capital inicial é C, o montante final deve ser 8C. Isso significa que os juros acumulados devem ser 7C (8C - C = 7C).

No regime de juros simples, a fórmula para calcular os juros é:

J = C * i * t

Onde:

• J = juros acumulados (7C)
• C = capital inicial
• i = taxa de juros mensal (10% ou 0,1)
• t = tempo em meses

Substituindo os valores na fórmula:

7C = C * 0,1 * t

Simplificando:

7 = 0,1 * t

t = 7 / 0,1

t = 70 meses

Convertendo 70 meses para anos e meses:

70 meses ÷ 12 meses/ano = 5 anos e 10 meses (pois 5 anos equivalem a 60 meses, restando 10 meses).

Portanto, o gabarito correto é a alternativa B) 5 anos e 10 meses, pois é o tempo necessário para que o capital octuplique seu valor sob as condições apresentadas.

No regime de capitalização simples, o cálculo do montante é dado pela fórmula:

M = C × (1 + i × t)

Onde:

• M = Montante (R$ 14.400,00)
• C = Capital inicial (R$ 12.800,00)
• i = Taxa de juros anual (15% ou 0,15)
• t = Tempo em anos

Substituindo os valores na fórmula:

14.400 = 12.800 × (1 + 0,15 × t)

Dividindo ambos os lados por 12.800:

1,125 = 1 + 0,15 × t

Subtraindo 1 de ambos os lados:

0,125 = 0,15 × t

Isolando t:

t = 0,125 / 0,15 ≈ 0,8333 anos

Convertendo para meses (1 ano = 12 meses):

0,8333 × 12 ≈ 10 meses

Portanto, o tempo necessário para obter o montante de R$ 14.400,00 é de 10 meses, correspondendo à alternativa B).

O problema apresentado envolve o cálculo da taxa mensal de juros simples aplicada a um capital inicial de R$ 2.500,00, que resultou em um montante de R$ 3.400,00 após um período de 1 ano e 3 meses. Para resolver essa questão, é necessário compreender os conceitos básicos de juros simples e aplicar a fórmula adequada.

No regime de juros simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial (capital), sem considerar acréscimos ao longo do tempo. A fórmula utilizada para determinar o montante (M) é:

M = C × (1 + i × t)

Onde:

• M = Montante final (R$ 3.400,00)
• C = Capital inicial (R$ 2.500,00)
• i = Taxa de juros mensal (o que queremos descobrir)
• t = Tempo em meses (1 ano e 3 meses = 15 meses)

Substituindo os valores na fórmula, temos:

3.400 = 2.500 × (1 + i × 15)

Primeiro, dividimos ambos os lados por 2.500 para simplificar:

3.400 / 2.500 = 1 + 15i

1,36 = 1 + 15i

Subtraindo 1 de ambos os lados:

0,36 = 15i

Finalmente, isolamos i dividindo por 15:

i = 0,36 / 15

i = 0,024

Para transformar em porcentagem, multiplicamos por 100:

i = 2,4% ao mês

Portanto, a taxa mensal dessa aplicação foi de 2,4%, correspondendo à alternativa B).

Julgue os itens que se seguem.

No sistema de juros simples, a taxa anual equivalente à taxa mensal de 2,5% é superior a 35%.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E) ERRADO.

Isso ocorre porque, no sistema de juros simples, a taxa anual equivalente é calculada multiplicando a taxa mensal pelo número de meses no ano. Portanto, 2,5% ao mês equivale a 2,5% × 12 = 30% ao ano, que é inferior a 35%.

Para resolver o problema, vamos primeiro calcular os juros compostos da primeira aplicação e, em seguida, determinar o tempo necessário para que os juros simples da segunda aplicação sejam iguais.

1. Cálculo dos juros compostos:

Capital inicial (C) = R$ 15.000,00

Taxa de juros compostos (i) = 10% ao ano = 0,10

Período (t) = 2 anos

Montante (M) = C × (1 + i)^t

M = 15.000 × (1 + 0,10)²

M = 15.000 × 1,21

M = R$ 18.150,00

Juros compostos (J_c) = M - C = 18.150 - 15.000 = R$ 3.150,00

2. Cálculo do tempo para juros simples:

Taxa de juros simples (i) = 18% ao ano = 0,18

Juros simples (J_s) = C × i × t

Queremos que J_s = J_c, ou seja, 3.150 = 15.000 × 0,18 × t

3.150 = 2.700 × t

t = 3.150 / 2.700

t = 1,1667 anos

Convertendo para meses: 1,1667 × 12 ≈ 14 meses.

Portanto, o tempo de aplicação no regime de capitalização simples é de 14 meses, correspondendo à alternativa E).

A respeito de juros simples, julgue o item seguinte.

Considere que, para uma dívida de R$ 3.200,00 com vencimento em 12 meses - contados a partir da data de hoje -, o credor ofereça ao devedor um desconto de 5% ao mês, caso ele aceite quitar a dívida antecipadamente. Nessa situação, se o devedor aceitar a proposta e quitar a dívida no dia de hoje, ele pagará menos de R$ 2.200,00.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C) CERTO.

O problema apresentado envolve a análise de equivalência financeira entre duas opções de pagamento oferecidas por uma empresa. Para que os clientes sejam indiferentes entre as escolhas, é necessário que o valor presente de ambas as alternativas seja igual, considerando a taxa de juros mensal praticada.

Vamos considerar o valor da compra como V. As opções são:

• Opção 1: Pagamento à vista com 10% de desconto, ou seja, o cliente paga 0,9 × V.
• Opção 2: Pagamento após um mês com 5% de desconto, ou seja, o cliente paga 0,95 × V no futuro.

Para que as opções sejam equivalentes, o valor presente da Opção 2 deve ser igual ao valor da Opção 1. Portanto, temos:

0,9 × V = (0,95 × V) / (1 + i)

Onde i é a taxa de juros mensal que queremos encontrar.

Simplificando a equação:

0,9 = 0,95 / (1 + i)

1 + i = 0,95 / 0,9

1 + i ≈ 1,0556

i ≈ 0,0556 ou 5,56%

Arredondando, a taxa de juros mensal deve ser aproximadamente 5,6%, o que corresponde à alternativa A).

Portanto, o gabarito correto é A) 5,6%, pois essa taxa iguala o valor presente das duas opções de pagamento, tornando-as indiferentes para o cliente.

Um investidor aplica R$ 10.000,00 em um banco a juros simples. Após 6 meses, resgata o montante de R$ 10.900,00 e reinveste esse valor em outro banco por 5 meses, com uma taxa de juros simples igual ao dobro da primeira aplicação. O objetivo é calcular o montante final após o segundo período de investimento.

Passo 1: Calcular a taxa de juros da primeira aplicação

Usando a fórmula do montante em juros simples: M = C × (1 + i × t), onde:

• M = R$ 10.900,00 (montante final)
• C = R$ 10.000,00 (capital inicial)
• t = 6 meses = 0,5 ano

Substituindo os valores:

10.900 = 10.000 × (1 + i × 0,5)

1,09 = 1 + 0,5i

0,09 = 0,5i

i = 0,18 ou 18% ao ano.

Passo 2: Calcular a taxa da segunda aplicação

A segunda aplicação tem taxa igual ao dobro da primeira, portanto:

i₂ = 2 × 18% = 36% ao ano.

Passo 3: Calcular o montante da segunda aplicação

Novamente usando a fórmula do montante em juros simples:

• C = R$ 10.900,00 (capital reinvestido)
• i = 36% ao ano = 0,36
• t = 5 meses ≈ 5/12 ano ≈ 0,4167 ano

Substituindo os valores:

M = 10.900 × (1 + 0,36 × 0,4167)

M = 10.900 × (1 + 0,15)

M = 10.900 × 1,15

M = R$ 12.535,00

Portanto, o montante final após o segundo período de investimento é R$ 12.535,00, correspondente à alternativa E).