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(UFMG) Aplicam-se as quantias de R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00 por um mesmo período. No entanto os juros correspondentes às quantias de R$ 40.000,00 são inferiores, em R$ 1.600,00, àqueles produzidos por R$ 60.000,00, à taxa de 6% nesse mesmo período. Então, a taxa que foi aplicada a quantia de R$ 40.000,00 é de

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Resposta:

Para resolver esse problema, precisamos usar a fórmula dos juros simples, que é:
J = C⋅i⋅t

Onde:

  • J é o valor dos juros
  • C é o capital aplicado
  • i é a taxa de juros
  • t é o tempo da aplicação

Sabemos que:

  • O capital aplicado a 6% é R$ 60.000,00
  • O capital aplicado a uma taxa desconhecida é R$ 40.000,00
  • O tempo da aplicação é o mesmo para ambos os capitais
  • A diferença entre os juros produzidos pelos dois capitais é R$ 1.600,00

Podemos então escrever duas equações usando a fórmula dos juros simples:

J1 = 60.000 ⋅ 0,06 ⋅ t
J2 = 40.000 ⋅ i ⋅ t

Onde:

J1​ é o valor dos juros do capital de R$ 60.000,00
J2​ é o valor dos juros do capital de R$ 40.000,00
i é a taxa de juros que queremos encontrar

Como a diferença entre os juros é R$ 1.600,00, podemos escrever:

J1 − J2 = 1.600

Substituindo as equações dos juros, temos:
(60.000 ⋅ 0,06 ⋅ t) − (40.000 ⋅ i ⋅ t) = 1.600

Simplificando a equação, temos:
3.600t − 40.000it = 1.600

Isolando a variável i, temos:

Variável i isolada

Agora, precisamos encontrar o valor de t, que é o tempo da aplicação.

Uma forma de fazer isso é usar os dados da questão para estimar um valor aproximado de tt. Por exemplo, se assumirmos que o tempo da aplicação foi de um mês, teremos:

Valor de i encontrado

Ou seja, a taxa de juros seria de 5% ao mês.

Podemos verificar se esse valor é razoável, calculando os juros produzidos pelos dois capitais nesse caso:

J1 = 60.000 ⋅ 0,06 ⋅ 1 = 3.600
J2 = 40.000 ⋅ 0,05 ⋅ 1 = 2.000

A diferença entre os juros é:

J1 − J2 = 3.600 − 2.000 = 1.600

Que é exatamente o valor dado na questão.

Portanto, podemos concluir que a taxa de juros aplicada ao capital de R$ 40.000,00 foi de 5% ao mês.

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