A soma dos cinco primeiros termos de uma PA é igual a -30 , enquanto a soma dos 10 primeiros termos é igual a 40. O décimo quinto termo desta PA é:

A alternativa correta é a letra C) 42.

A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma PA é:

a_n = a₁ + (n − 1) * r

onde a_n​ é o enésimo termo, a₁​ é o primeiro termo, n é o número de termos e r é a razão.

A fórmula para encontrar a soma dos n primeiros termos de uma PA é:

onde S_n​ é a soma dos n primeiros termos, a₁​ é o primeiro termo, a_n​ é o enésimo termo e n é o número de termos.

Para resolver essa questão, vamos usar essas fórmulas e as informações dadas. Sabemos que:
S₅ = −30
S₁₀ = 40

Substituindo as fórmulas, temos:

Simplificando, temos:
a₁ + a₅ = −12
a₁ + a₁₀ = 8

Agora, vamos usar a fórmula do termo geral para expressar a₅​ e a₁₀​ em função de a₁​ e r. Temos:
a₅ = a₁ + 4r
a₁₀ = a₁ + 9r

Substituindo na equação da soma, temos:
a₁ + a₁ + 4r = −12
a₁ + a₁ + 9r = 8

Simplificando, temos:
2a₁ + 4r = −12
2a₁ + 9r = 8

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos que:
a₁ = −14
r = 4

Portanto, o primeiro termo da PA é -14 e a razão é 4. Agora, podemos usar esses valores para encontrar o décimo quinto termo da PA. Usando a fórmula do termo geral, temos:

a₁₅ ​= a₁ ​+ (15−1)r
a₁₅ = −14 + 14 × 4
a₁₅ = −14 + 56
a₁₅ = 42

Logo, o décimo quinto termo da PA é 42. A alternativa correta é a letra C.