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Em uma PA de razão 3, a1 = 2 e Sn = 57. O valor n é:

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

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Resposta:

A alternativa correta é a letra B) 6.

Para encontrar o valor de n, iremos usar a fórmula da soma da PA:

Fórmula da soma de uma P.A

Nesse caso, temos que o primeiro termo é a1​=2, a razão é r=3 e a soma dos n primeiros termos é Sn = 57. Precisamos encontrar o último termo an​ e o número de termos n.

Podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrar an​:
an = a1 + (n−1) * r

Substituindo os valores conhecidos, temos:
an = 2+(n−1) * 3
an​ = 2+(n−1) * 3
an = 3n−1

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da soma da PA e obter:

Valores obtidos nos passos anteriores na fórmula da soma de uma P.A

Multiplicando os dois lados por 2, temos:
114 = (3n + 1)n

Expandindo o produto, temos:
114 = 3n2 + n

Subtraindo 114 dos dois lados, temos:
0 = 3n2 + n − 114

Essa é uma equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Fórmula de Bhaskara para calcular n

Onde a = 3, b = 1 e c = −114. Substituindo esses valores, temos:

Valores substituídos na fórmula de Bháskara para encontrar o n

Simplificando, temos:

Valor de n

Como √1369 = 37, temos:

Simplificação do cálculo para encontrar n

Isso nos dá duas possíveis soluções para n:

Resposta para os possíveis valores que n pode assumir

Como n deve ser um número natural (positivo), a única solução válida é n1=6.

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

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