Em uma PA de razão 3, a1 = 2 e Sn = 57. O valor n é:

A alternativa correta é a letra B) 6.

Para encontrar o valor de n, iremos usar a fórmula da soma da PA:

Nesse caso, temos que o primeiro termo é a₁​=2, a razão é r=3 e a soma dos n primeiros termos é S_n = 57. Precisamos encontrar o último termo a_n​ e o número de termos n.

Podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrar a_n​:
a_n = a₁ + (n−1) * r

Substituindo os valores conhecidos, temos:
a_n = 2+(n−1) * 3
a_n​ = 2+(n−1) * 3
a_n = 3n−1

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da soma da PA e obter:

Multiplicando os dois lados por 2, temos:
114 = (3n + 1)n

Expandindo o produto, temos:
114 = 3n² + n

Subtraindo 114 dos dois lados, temos:
0 = 3n² + n − 114

Essa é uma equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Onde a = 3, b = 1 e c = −114. Substituindo esses valores, temos:

Simplificando, temos:

Como √1369 = 37, temos:

Isso nos dá duas possíveis soluções para n:

Como n deve ser um número natural (positivo), a única solução válida é n₁=6.

Portanto, a alternativa correta é a letra B.