(PUC-RJ) Tem-se uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

A alternativa correta é a letra D) 23.

Primeiro, vamos encontrar o último termo da PA, que é a₂₀​. Para isso, vamos usar a fórmula da soma dos termos da PA:

Onde S_n​ é a soma dos n primeiros termos, a₁​ é o primeiro termo, a_n​ é o último termo e n é o número de termos.

Nesse caso, temos que S₂₀ = 480, a₁ ​= 5 e n = 20. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Multiplicando os dois lados por 2, temos:
960 = ( 5 + a₂₀) * 20

Expandindo o produto, temos:
960 = 100 + 20 * a₂₀

Subtraindo 100 dos dois lados, temos:
860 = 20 * a₂₀

Dividindo os dois lados por 20, temos:
43 = a₂₀

Portanto, o último termo da PA é a₂₀ = 43.

Agora, vamos encontrar a razão da PA, que é rr. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:
a_n = a₁ + (n−1) * r

Onde a_n​ é o n-ésimo termo, a₁​ é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.

Nesse caso, podemos usar qualquer termo da PA que conhecemos para encontrar r. Vamos usar o último termo, que é a₂₀ = 43. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
43 = 5 + (20 − 1) * r

Simplificando, temos:
43 = 5 + 19r

Subtraindo 5 dos dois lados, temos:
38 = 19r

Dividindo os dois lados por 19, temos:
2 = r

Portanto, a razão da PA é r=2.

Finalmente, vamos encontrar o décimo termo da PA, que é a₁₀​. Para isso, vamos usar novamente a fórmula do termo geral da PA:

a_n=a₁ + (n − 1) * r

Nesse caso, temos que n = 10, a₁​ = 5 e r = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
a₁₀ = 5 + ( 10 − 1) * 2

Simplificando, temos:
a₁₀ = 5 + 18

Somando, temos:
a₁₀ = 23

Portanto, o décimo termo da PA é a₁₀ = 23.

Assim, a alternativa correta é a letra D.