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(PUC-RJ) Tem-se uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

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Resposta:

A alternativa correta é a letra D) 23.

Primeiro, vamos encontrar o último termo da PA, que é a20​. Para isso, vamos usar a fórmula da soma dos termos da PA:

Fórmula da soma de uma P.A

Onde Sn​ é a soma dos n primeiros termos, a1​ é o primeiro termo, an​ é o último termo e n é o número de termos.

Nesse caso, temos que S20 = 480, a1 ​= 5 e n = 20. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Valores substituídos na fórmula da soma de uma P.A

Multiplicando os dois lados por 2, temos:
960 = ( 5 + a20) * 20

Expandindo o produto, temos:
960 = 100 + 20 * a20

Subtraindo 100 dos dois lados, temos:
860 = 20 * a20

Dividindo os dois lados por 20, temos:
43 = a20

Portanto, o último termo da PA é a20 = 43.

Agora, vamos encontrar a razão da PA, que é rr. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n−1) * r

Onde an​ é o n-ésimo termo, a1​ é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.

Nesse caso, podemos usar qualquer termo da PA que conhecemos para encontrar r. Vamos usar o último termo, que é a20 = 43. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
43 = 5 + (20 − 1) * r

Simplificando, temos:
43 = 5 + 19r

Subtraindo 5 dos dois lados, temos:
38 = 19r

Dividindo os dois lados por 19, temos:
2 = r

Portanto, a razão da PA é r=2.

Finalmente, vamos encontrar o décimo termo da PA, que é a10​. Para isso, vamos usar novamente a fórmula do termo geral da PA:

an=a1 + (n − 1) * r

Nesse caso, temos que n = 10, a1​ = 5 e r = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
a10 = 5 + ( 10 − 1) * 2

Simplificando, temos:
a10 = 5 + 18

Somando, temos:
a10 = 23

Portanto, o décimo termo da PA é a10 = 23.

Assim, a alternativa correta é a letra D.

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