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Sejam x, y e z números reais tais que a sequência (x, 1, y, 1/4, z) forme, nesta ordem, uma progressão aritmética. O valor da soma x + y + z é:

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Resposta:

A alternativa correta é a letra C) 15/8

Para encontrar o valor da soma x + y + z, precisamos saber os valores de x, y e z. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n−1)⋅r

Onde:

  • an​ é o enésimo termo da PA
  • a1​ é o primeiro termo da PA
  • n é o número de termos da PA
  • r é a razão da PA

Nessa questão, temos que:

  • A sequência (x, 1, y, 1/4, z) tem 5 termos, ou seja, n=5
  • O primeiro termo é x, ou seja, a1 = x
  • O segundo termo é 1, ou seja, a2 = 1
  • O terceiro termo é y, ou seja, a3 = y
  • O quarto termo é 1/4, ou seja, a4 = 1/4
  • O quinto termo é z, ou seja, a5 = z

Para encontrar o valor de r, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do segundo e do quarto termo:
a2 = a1 + (2−1)⋅r
1 = x + r
a4 = a1 + (4−1)⋅r
1/4 = x + 3r

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

Sistema de equações montado com as variáveis x e r

Podemos resolver esse sistema por substituição, eliminando uma das incógnitas. Por exemplo, isolando x na primeira equação, temos:
x = 1 − r

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
1/4 = (1 − r) + 3r
1/4 = 1 + 2r
−3/4 = 2r
r = −3/8

Agora que sabemos o valor de r, podemos substituir na expressão de x e obter:
x = 1 − (−3/8)
x = 1 + 3/8
x = 11/8

Para encontrar o valor de y e z, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do terceiro e do quinto termo:
a3 = a1 + (3−1)⋅r
y = x + 2r
y = 11/8 + 2⋅(−3/8)
y = 11/8 − 6/8
y = 5/8

a5 = a1 + (5−1)⋅r
a5 ​= a1 ​+ (5−1)⋅r
z = x + 4r
z = 11/8 + 4⋅(−3/8)
z = 11/8 − 12/8
z = −1/8

Portanto, o valor da soma x + y + z é:
(x + y + z) = ( 11/8 + 5/8 − 1/8)
(x + y + z) = (15/8)

A alternativa correta é a letra C.

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