Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 196 e o termo central igual a 81. Qual é o valor do primeiro termo?

A alternativa correta é a letra A)-34.

Para encontrar o valor do primeiro termo de uma PA finita, podemos usar a fórmula do termo geral:
a_n = a₁ + (n−1)⋅r

Onde:

1. a_n​ é o enésimo termo da PA
2. a₁​ é o primeiro termo da PA
3. n é o número de termos da PA
4. r é a razão da PA

Nessa questão, temos que:

• n = 39
• a₃₉ = 196
• a₂₀​ = 81 (o termo central é o vigésimo termo, pois 20 = (39+1) / 2)

Para encontrar o valor de r, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do termo central:
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)⋅r
81 = a₁ + 19⋅r

Para encontrar o valor de a₁​, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do último termo:
a₃₉ = a₁ + (39 − 1)⋅r
196 = a₁ + 38⋅r

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

Podemos resolver esse sistema por substituição, eliminando uma das incógnitas. Por exemplo, isolando a₁​ na primeira equação, temos:
a₁ = 81 − 19⋅r

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
196 = (81 − 19⋅r) + 38⋅r
196 = 81 + 19⋅r
115 = 19⋅r
r = 115 / 19

Agora que sabemos o valor de r, podemos substituir na expressão de a₁ e obter:
a₁ = 81 − 19 ⋅ 115 / 19
a₁ = 81 − 115
a₁ = −34

Portanto, o valor do primeiro termo da PA finita é -34. A alternativa correta é a letra A.