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Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 196 e o termo central igual a 81. Qual é o valor do primeiro termo?

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Resposta:

A alternativa correta é a letra A)-34.

Para encontrar o valor do primeiro termo de uma PA finita, podemos usar a fórmula do termo geral:
an = a1 + (n−1)⋅r

Onde:

  1. an​ é o enésimo termo da PA
  2. a1​ é o primeiro termo da PA
  3. n é o número de termos da PA
  4. r é a razão da PA

Nessa questão, temos que:

  • n = 39
  • a39 = 196
  • a20​ = 81 (o termo central é o vigésimo termo, pois 20 = (39+1) / 2)

Para encontrar o valor de r, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do termo central:
a20 = a1 + (20 − 1)⋅r
81 = a1 + 19⋅r

Para encontrar o valor de a1​, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do último termo:
a39 = a1 + (39 − 1)⋅r
196 = a1 + 38⋅r

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

Sistema de equação montado

Podemos resolver esse sistema por substituição, eliminando uma das incógnitas. Por exemplo, isolando a1​ na primeira equação, temos:
a1 = 81 − 19⋅r

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
196 = (81 − 19⋅r) + 38⋅r
196 = 81 + 19⋅r
115 = 19⋅r
r = 115 / 19

Agora que sabemos o valor de r, podemos substituir na expressão de a1 e obter:
a1 = 81 − 19 ⋅ 115 / 19
a1 = 81 − 115
a1 = −34

Portanto, o valor do primeiro termo da PA finita é -34. A alternativa correta é a letra A.

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