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(ITA) Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a

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Resposta:

Alternativa correta letra E) 30.

Para resolvê-la, precisamos saber quantas maneiras diferentes podemos pintar um cubo com seis cores distintas, de forma que cada face tenha uma cor diferente.

Uma forma de pensar nisso é escolher uma cor para a face de baixo do cubo, e depois permutar as outras cinco cores nas outras faces. Como temos seis cores para escolher, e cinco fatores de permutação, o número de maneiras de pintar um cubo é 6 x 5! = 720. Porém, esse número conta como diferentes pinturas que são iguais se rotacionarmos o cubo. Para evitar essa contagem repetida, precisamos dividir esse número pelo número de posições diferentes que o cubo pode assumir. Uma forma de contar isso é fixar uma face do cubo, e ver quantas rotações de 90 graus podemos fazer em torno do eixo que passa por essa face. Como o cubo tem quatro faces adjacentes a essa, temos quatro rotações possíveis. Além disso, podemos escolher qualquer uma das seis faces para fixar, então o número total de posições diferentes é 6 x 4 = 24. Portanto, o número de pinturas distintas de um cubo é 720 / 24 = 30. Agora, se temos N cubos pintados dessa forma, cada um deles pode ter uma das 30 pinturas possíveis. Mas se quisermos que eles sejam perfeitamente distintos, não podemos ter dois cubos com a mesma pintura.

Logo, o maior valor possível de N é igual ao número de pinturas distintas, ou seja, 30.

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