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Questões Sobre Análise Combinatória: Permutação - Matemática - 2º ano do ensino médio

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1) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de

  • A) 180
  • B) 160
  • C) 140
  • D) 120
  • E) 100
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Alternativa correta letra A) 180

Esse é um problema de permutação com repetição, pois a ordem dos golpes é importante e há golpes que se repetem na sequência. Para resolver esse tipo de problema, podemos usar a seguinte fórmula:

Fórmula geral da permutação com repetição

Onde n é o número total de elementos na sequência e n1, n2, …, nk são os números de elementos repetidos de cada tipo.

No caso do problema, temos n = 6, pois a sequência tem 6 golpes. Além disso, temos n1 = 2, pois há 2 jabs, n2 = 2, pois há 2 diretos, n3 = 1, pois há 1 cruzado e n4 = 1, pois há 1 gancho. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

6! / 2!2!1!1!

Simplificando os fatoriais, obtemos:

6×5×4×3×2×1 / 2×1×2×1×1×1 =
720 / 4 =
180

Portanto, o número máximo de sequências que o pugilista pode criar é 180.

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2) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos?

  • A) 100
  • B) 800
  • C) 40 320
  • D) 80 640
  • E) 3 628 800
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A alternativa correta é a letra D) 80.640

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de permutação simples. Uma permutação simples é uma forma de ordenar os elementos de um conjunto, de modo que a ordem importa. Por exemplo, as letras ABC podem ser permutadas de 6 maneiras diferentes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

No caso da foto, temos 10 pessoas: Sr. Manuel, D. Joaquina e 8 netos. Como os avós devem ficar nas extremidades, temos duas opções para escolher quem fica à esquerda e quem fica à direita. Depois, temos 8 netos para ordenar entre eles, o que pode ser feito de 8! maneiras. Assim, o número total de modos distintos é dado por:

2 x 8! = 2 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 80.640

3) (Ufes 2000) De quantas maneiras 10 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos caixas de modo que as 4 mulheres do grupo fiquem juntas?

  • A) 4! × 7!
  • B) 5! × 6!
  • C) 6 × 6!
  • D) 10 × 6!
  • E) 4! + 10!
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A alternativa correta é a letra A) 7! × 4!.

Para resolver essa questão, podemos considerar as 4 mulheres como um único bloco, que pode ocupar uma das 7 posições na fila. Além disso, as 4 mulheres podem se permutar entre si, de 4! maneiras diferentes. Portanto, o número total de maneiras que os 10 clientes podem se posicionar na fila, de modo que as 4 mulheres fiquem juntas, é dado por:

7! × 4!

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4) (ITA) O número de anagramas da palavra vestibulando, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:

  • A) 12!
  • B) (8!) · (5!)
  • C) 12! – (8!) · (5!)
  • D) 12! – 8!
  • E) 12! – (7!) · (5!)
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A resposta correta é a letra C) 12! – (8!) · (5!).

Para entender o porquê, vamos pensar no seguinte:

  • A palavra VESTIBULANDO tem 12 letras, então o número total de anagramas possíveis é 12!
  • Mas alguns desses anagramas têm as cinco vogais juntas, como por exemplo: VESTIBUAOLND. Nós não queremos contar esses casos, então vamos subtrair eles do total.
  • Para saber quantos anagramas têm as vogais juntas, vamos considerar as vogais como uma única letra, assim: VSTBLND(EIUAO). Agora temos 8 letras, então o número de anagramas possíveis é 8!
  • Mas ainda não acabou, pois dentro desses anagramas, as vogais podem estar em diferentes ordens, como por exemplo: VSTBLND(AEIOU) ou VSTBLND(OUIAE). Então, para cada anagrama com 8 letras, temos 5! maneiras de permutar as vogais
  • Logo, o número total de anagramas com as vogais juntas é 8! · 5!
  • Portanto, o número de anagramas que não têm as vogais juntas é total de anagramastotal de anagramas com vogais juntos =  12! – 8! · 5!

5) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

  • A) 120
  • B) 320
  • C) 500
  • D) 600
  • E) 720
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A alternativa correta é a letra d) 600.

Para resolver este problema, você precisa considerar as seguintes etapas:

  • A locomotiva deve ir à frente, então ela tem uma única posição possível.
  • O vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, então ele tem 5 posições possíveis, excluindo a segunda.
  • Os outros 5 vagões podem ser permutados de qualquer forma entre as 5 posições restantes.

Assim, o número de modos diferentes de montar a composição é:

1 ⋅ 5 ⋅ P5 = 5 ⋅ 5! = 5 ⋅ 120 = 600

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6) De quantas maneiras três mães e seus respectivos filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente-se junto ao seu filho?

  • A) 6
  • B) 18
  • C) 12
  • D) 36
  • E) 48
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Alternativa correta letra E) 48.

Podemos pensar que cada mãe e seu filho formam um único elemento, que pode ser permutado de duas maneiras: mãe à esquerda e filho à direita, ou mãe à direita e filho à esquerda. Então, o número de maneiras de permutar esses três elementos na fila é dado pela fórmula:

P3 = 3! = 6

Mas, como cada elemento pode ser permutado de duas maneiras, temos que multiplicar esse resultado por 23, que é o número de maneiras de permutar cada par de mãe e filho. Assim, o número total de maneiras de ocupar a fila é:

6×23 = 6 × 8 = 48

Portanto, existem 48 maneiras de ocupar a fila com três mães e seus respectivos filhos, de modo que cada mãe sente-se junto ao seu filho.

7) (UEMG) Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre eles Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos: 

  • A) 8!
  • B) 5! .3!
  • C) 6! .3!
  • D) 8! .3!
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A alternativa correta é a letra C) 6! ⋅ 3!

Permutação com agrupamento é um tipo de permutação em que alguns elementos devem ficar juntos em uma determinada ordem. Para calcular o número de permutações com agrupamento, devemos considerar o grupo de elementos como um único elemento e permutar os demais normalmente. Depois, devemos multiplicar pelo número de permutações possíveis dentro do grupo.

No problema, existem oito amigos que formam uma fila, mas Carlos, Timóteo e Joana devem ficar sempre juntos. Então, podemos pensar que esse trio é um único elemento, e que a fila tem seis elementos no total. O número de permutações simples de seis elementos é 6!. Agora, dentro do trio, há três elementos que podem ser permutados de 3! maneiras, ou seja, 6. Portanto, o número de permutações com agrupamento é 6! ⋅ 3!

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8) (UNICAMP) O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é 

  • A) 9!.
  • B) 9!/2!.
  • C) 9!/(2!2!).
  • D) 9!/(2!2!2!).
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Alternativa correta letra C) 8! / (2! ⋅ 2!)

Para encontrar o número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com FLORES, devemos considerar que essas seis letras já estão fixas no início. Assim, só precisamos permutar as outras nove letras que sobram, que formam a palavra RETAMENTO. Como essa palavra tem duas letras E e duas letras T repetidas, devemos dividir o fatorial de oito pelo produto dos fatoriais de dois, duas vezes. Logo, o número de anagramas é:

8! / (2! ⋅ 2!) = 3.360

Essa é a alternativa C.

9) (ENEM 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ . O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem. Ele sabe que o e-mail [email protected] já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?

  • A) 59
  • B) 60
  • C) 118
  • D) 119
  • E) 120
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A alternativa correta é a letra d) 119.

Para criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, Eduardo precisa considerar que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem. Isso significa que ele pode tratar o grupo “edu” como uma única letra, e assim, ele terá cinco letras para permutar: edu, a, r, d e o.

O número de anagramas possíveis com cinco letras diferentes é dado por 5!, que é igual a 120. No entanto, como o e-mail [email protected] já foi criado por outro usuário, Eduardo precisa descontar essa possibilidade do total de anagramas. Portanto, o número de maneiras que Eduardo pode criar um e-mail desejado é 120 – 1 = 119.

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10) (PUC-Campinas) Uma chave Pix é formada por 9 algarismos distintos, sendo que o primeiro é 9. O número de chaves distintas com essas características é: 

  • A) 9 × 7!
  • B) 8!
  • C) 9!
  • D) 7!
  • E) 81 × 6!
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A alternativa correta é a letra C) 9!

Para encontrar o número de chaves Pix distintas com 9 algarismos distintos, sendo que o primeiro é 9, podemos usar o princípio fundamental da contagem. Como o primeiro algarismo é fixo, temos 9 posições restantes para preencher com os outros algarismos, de 0 a 8. Para a segunda posição, temos 9 opções, pois podemos usar qualquer algarismo exceto o 9. Para a terceira posição, temos 8 opções, pois não podemos repetir o algarismo da segunda posição. E assim por diante, até a última posição, que terá apenas 2 opções.

Portanto, o número de chaves Pix distintas é dado pelo produto das opções para cada posição:

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Esse produto é exatamente o fatorial de 9, ou seja, 9!. Logo, a alternativa correta é a letra C.

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