(UEMG) Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre eles Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos: 

A alternativa correta é a letra C) 6! ⋅ 3!

Permutação com agrupamento é um tipo de permutação em que alguns elementos devem ficar juntos em uma determinada ordem. Para calcular o número de permutações com agrupamento, devemos considerar o grupo de elementos como um único elemento e permutar os demais normalmente. Depois, devemos multiplicar pelo número de permutações possíveis dentro do grupo.

No problema, existem oito amigos que formam uma fila, mas Carlos, Timóteo e Joana devem ficar sempre juntos. Então, podemos pensar que esse trio é um único elemento, e que a fila tem seis elementos no total. O número de permutações simples de seis elementos é 6!. Agora, dentro do trio, há três elementos que podem ser permutados de 3! maneiras, ou seja, 6. Portanto, o número de permutações com agrupamento é 6! ⋅ 3!