(PUC-RIO 2008) No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 10 então o jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola?

Alternativa correta é a letra C) 23 / 30

A probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola é a mesma que a probabilidade de o número sorteado não ser múltiplo de 6 nem de 10. Para isso, basta contar quantos números entre 1 e 600 não são divisíveis por 6 ou por 10. Esses números são os que não têm 2, 3 ou 5 como fatores primos.

Uma maneira de fazer isso é usar o princípio da inclusão-exclusão, que diz que o número de elementos em uma união de conjuntos é igual à soma dos números de elementos em cada conjunto menos a soma dos números de elementos nas interseções dos conjuntos. Assim, temos:

N(1, 600) = 600 N(múltiplos de 6) = 600 / 6 = 100 N(múltiplos de 10) = 600 / 10 = 60 N(múltiplos de 6 e 10) = 600 / 30 = 20 N(não múltiplos de 6 nem de 10) = N(1, 600) – N(múltiplos de 6) – N(múltiplos de 10) + N(múltiplos de 6 e 10) = 600 – 100 – 60 + 20 = 460

Portanto, a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola é:

P(não ganhar nenhuma bola) = N(não múltiplos de 6 nem de 10) / N(1, 600) = 460 / 600 = 23 / 30

Portanto, a alternativa correta é a letra C) 23 / 30