Questões Sobre Equação do 2º grau - Matemática - 9º ano

Uma equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, é aquela que pode ser escrita na forma geral:
ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes, com a ≠ 0.

Agora, vamos verificar cada uma das equações dadas:

• ( x – 5x + 6 = 0 ): Esta é uma equação do 1º grau, pois o maior expoente de ( x ) é 1.
• ( 2x³ – 8x² – 2 = 0 ): Esta é uma equação do 3º grau, pois o maior expoente de ( x ) é 3.
• ( x² – 7x + 10 = 0 ): Esta é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente de ( x ) é 2 e o coeficiente de ( x² ) é diferente de zero.
• ( 4x² – 1 = 0 ): Esta também é uma equação do 2º grau, pelo mesmo motivo da anterior.
• ( 0x² + 4x – 3 = 0 ): Apesar de ter um termo ( x² ), o coeficiente é 0, então ela se reduz a uma equação do 1º grau.
• ( x² – 7x ): Esta não é uma equação completa, pois falta o termo independente ( c ) e o sinal de igualdade com zero. No entanto, se fosse ( x^2 – 7x = 0 ), seria do 2º grau.

Portanto, as equações do 2º grau são:

• x²- 7x + 10= 0
• 4x² – 1= 0

A alternativa correta é letra A) -2

A soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por -b/a, portanto, a soma das raízes é dada por -4/2 = -2.

A alternativa correta é a letra D) não possui raízes reais.

Para resolver essa questão, você precisa calcular o discriminante da equação, que é dado por
Δ = b² − 4ac

onde a,b e c são coeficientes da equação. Nesse caso temos:
a = 1
b = -4
c = 7

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Δ = (−4)² − 4×1×7
Δ = 16 − 28
Δ = −12

O discriminante é negativo, o que significa que a equação não possui raízes reais.

Para determinar o valor de m de forma que cumpramos essa propriedade devemos utilizar as relações de Girard, que são:

• Soma das raízes: x_1​+x₂ ​= −a/b ​= −12
• Produto das raízes: x₁​x₂​= c/a ​= (2m−1)​ / 2

Para calcular o valor de m, vamos elevar ao quadrado ambas as partes da expressão x₁​+x₂​=−12. Obtemos:
(x₁​+x₂​)²=(−12)²
x₁²​+2x₁​x₂​+x₂²​=144

Observe que já conhecemos os valores de x₁²​+x₂²​ e x₁​x₂​. Portanto, se substituirmos esses valores em nossa expressão, obtemos a seguinte equação de primeiro grau, muito fácil de resolver:

121 + 2⋅(2m−1)/2 ​= 144

$$121+2m-1=144$$

$$120+2m=144$$

$$2m=24$$

Portanto, m = 12.

Alternativa correta é letra C) x² + 14x = 240

A área de um retângulo é dada pela fórmula:

A = b * h

No caso da figura, a área é 240 m² e a base igual a x + 14 e a altura igual a x. Portando, temos:

(x + 14) * x = 240
x² + 14x = 240

ou

x² + 14x – 240 = 0

Como dentre as alternativas apenas temo a primeira opção, logo a alternativa correta é letra C) x² + 14x = 240

Aqui estão os coeficientes de cada equação e sua classificação:

Explicação:

Os coeficientes de uma equação quadrática são os números que multiplicam cada termo da equação. A equação quadrática é completa se todos os três termos estiverem presentes. A equação quadrática é incompleta se faltar um ou dois termos.

A) A equação A tem todos os três termos presentes, portanto, é completa. Os coeficientes são a = 2, b = -6 e c = -8.

B) A equação B tem apenas dois termos presentes, portanto, é incompleta. Os coeficientes são a = -1 e b = 3.

C) A equação C tem todos os três termos presentes, portanto, é completa. Os coeficientes são a = 1/3, b = 0,3 e c = -10.

D) A equação D tem apenas dois termos presentes, portanto, é incompleta. Os coeficientes são a = 4 e c = -16.

De acordo com a expressão dada no enunciado, a idade do filho do professor é obtida pela seguinte equação:

x² – 5x = 50

Resolvendo a equação, obtemos:

x = (5 ± √(25 + 4 × 50))/2

Como a idade do filho do professor deve ser um número inteiro, a resposta é:

x = 10

Seja x o número real. Então, temos que x²−10=15. Adicionando 10 em ambos os lados da equação, obtemos x²=25. Tomando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos x=±5. Portanto, as soluções são x=5 ou x=−5.

Como o enunciado diz que o número real é positivo, a resposta é x=5​.

Aqui está uma solução alternativa:

Podemos escrever a equação x²−10=15 como x²=25. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos

x=±√25​=±5.

Como o enunciado diz que o número real é positivo, a resposta é x=5​.