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(ENEM 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

Questão sobre antena do ENEM - Plano Cartesiano - Geometria Analítica

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

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Resposta:

A alternativa correta é letra E) (50; 30)

A torre a ser construída precisa estar num ponto P equidistante dos pontos A (30,20), B (70,20) e C (60,50). Os pontos equidistantes de A e B pertencem à mediatriz do segmento AB. Este segmento está entre os pontos 30 e 70 da abscissa, logo, a mediatriz passará pela coordenada 50 (pois (30+70)/2=50).
Para a distância do ponto C em relação a A e B, temos dPA=dPC. Esta distância pode ser calculada pela fórmula

Fórmula da distância entre 2 pontos no plano cartesiano

Coordenadas dos pontos substituídos na fórmula para obtenção da distância entre os pontos

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
(20)2 +(yP – 20)2 =(–10)2 +(yP –50)2
400 + (yP – 20)2 = 100 + (yP – 50)2
400 + yP2 – 40yP + 400 = 100 + yP2 – 100yP + 2500
60yP = 2600 – 800
60yP = 1800
yP = 30

Coordenadas do ponto P(50,30).

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