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Questões Sobre Múltiplos e Divisores - Matemática - 6º ano

1) Quais são os divisores de 20?

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Os divisores do 20 são: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Para obter os divisores de um número, podemos usar a decomposição em fatores primos, que é um método que consiste em escrever o número como um produto de números primos. Por exemplo, para decompor o número 20 em fatores primos, podemos fazer o seguinte:

  • Primeiro, você precisa decompor o 20 em fatores primos, ou seja, em números que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. Para isso, você pode usar a técnica da divisão sucessiva, que consiste em dividir o 20 pelo menor número primo possível, até chegar ao 1. Veja o exemplo:20 | 2 10 | 2 5 | 5 1 |
  • Nesse caso, o menor número primo que divide o 20 é o 2, então você divide o 20 por 2 e obtém o 10. Depois, você repete o processo com o 10, que é divisível pelo 2, que também é primo. Você divide o 10 por 2 e obtém o 5. Como o 5 é primo, você divide ele por ele mesmo e obtém o 1. Quando você chega ao 1, você para de dividir. Agora, você pode escrever o 20 como um produto dos fatores primos que você usou na divisão, que são o 2 e o 5. Assim, você tem que 20 = 2 x 2 x 5.
  • Segundo, você precisa encontrar todos os possíveis produtos entre os fatores primos e seus expoentes, que são os números que indicam quantas vezes o fator é multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, no caso do 20, o 2 tem expoente 2, pois ele aparece duas vezes na decomposição. Já o 5 tem expoente 1, pois ele aparece uma vez na decomposição. Você pode escrever o 20 como 20 = 22 x 51, usando os expoentes.
  • Terceiro, você precisa multiplicar entre si todos os fatores primos e seus expoentes, usando a regra de que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Por exemplo, para encontrar o divisor 1, você pode usar o 2 elevado a zero e o 5 elevado a zero, pois 1 = 20 x 50. Para encontrar o divisor 2, você pode usar o 2 elevado a um e o 5 elevado a zero, pois 2 = 21 x 50. Para encontrar o divisor 4, você pode usar o 2 elevado a dois e o 5 elevado a zero, pois 4 = 22 x 50. E assim por diante, até encontrar todos os divisores possíveis. Veja a tabela abaixo com todos os divisores do 20 e suas respectivas multiplicações:
    DivisorMultiplicação
    120 x 50
    221 x 50
    422 x 50
    520 x 51
    1021 x 51
    2022 x 51
  • Quarto, você pode conferir se encontrou todos os divisores do 20, contando quantos são e comparando com a fórmula que diz que o número de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos mais um. Por exemplo, no caso do 20, o número de divisores é igual a (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6. Como você encontrou 6 divisores na tabela, você pode ter certeza de que não faltou nenhum.

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2) Quais são os divisores de 18?

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Os divisores do 18 são: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Para obter os divisores de um número, podemos usar a decomposição em fatores primos, que é um método que consiste em escrever o número como um produto de números primos. Por exemplo, para decompor o número 18 em fatores primos, podemos fazer o seguinte:

  • Primeiro, você precisa decompor o 18 em fatores primos, ou seja, em números que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. Para isso, você pode usar a técnica da divisão sucessiva, que consiste em dividir o 18 pelo menor número primo possível, até chegar ao 1. Veja o exemplo:18 | 2
    9 | 3
    3 | 3
    1 |
  • Nesse caso, o menor número primo que divide o 18 é o 2, então você divide o 18 por 2 e obtém o 9. Depois, você repete o processo com o 9, que é divisível pelo 3, que também é primo. Você divide o 9 por 3 e obtém o 3. Como o 3 é primo, você divide ele por ele mesmo e obtém o 1. Quando você chega ao 1, você para de dividir. Agora, você pode escrever o 18 como um produto dos fatores primos que você usou na divisão, que são o 2 e o 3. Assim, você tem que 18 = 2 x 3 x 3.
  • Segundo, você precisa encontrar todos os possíveis produtos entre os fatores primos e seus expoentes, que são os números que indicam quantas vezes o fator é multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, no caso do 18, o 2 tem expoente 1, pois ele aparece uma vez na decomposição. Já o 3 tem expoente 2, pois ele aparece duas vezes na decomposição. Você pode escrever o 18 como 18 = 21 x 32, usando os expoentes.
  • Terceiro, você precisa multiplicar entre si todos os fatores primos e seus expoentes, usando a regra de que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Por exemplo, para encontrar o divisor 1, você pode usar o 2 elevado a zero e o 3 elevado a zero, pois 1 = 20 x 30. Para encontrar o divisor 2, você pode usar o 2 elevado a um e o 3 elevado a zero, pois 2 = 21 x 30. Para encontrar o divisor 3, você pode usar o 2 elevado a zero e o 3 elevado a um, pois 3 = 20 x 31. E assim por diante, até encontrar todos os divisores possíveis. Veja a tabela abaixo com todos os divisores do 18 e suas respectivas multiplicações:
    DivisorMultiplicação
    120 x 30
    221 x 30
    320 x 31
    621 x 31
    920 x 32
    1821 x 32
  • Quarto, você pode conferir se encontrou todos os divisores do 18, contando quantos são e comparando com a fórmula que diz que o número de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos mais um. Por exemplo, no caso do 18, o número de divisores é igual a (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x 3 = 6. Como você encontrou 6 divisores na tabela, você pode ter certeza de que não faltou nenhum.

3) Considere o conjunto de números: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …}. A representação apresentada diz respeito a:

  • A) Divisores de 24.
  • B) Múltiplos de 24.
  • C) Divisores de 4.
  • D) Múltiplos de 4.
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Alternativa correta letra D) Múltiplos de 4

O conjunto de números {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …} é formado pelos múltiplos de 4.

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4) Assinale a alternativa em que todos os números são divisores de 45.

  • A) 2, 3, 5, 9 e 45.
  • B) 3, 5, 8, 9 e 45.
  • C) 3, 5, 9, 15 e 45.
  • D) 3, 5, 9, 10 e 45.
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A alternativa correta é a letra C) 3, 5, 9, 15 e 45.
Para que um número seja divisor de 45, ele deve ser um número inteiro que divide 45 sem deixar resto. Portanto, para encontrar a alternativa em que todos os números são divisores de 45, precisamos verificar se cada número da alternativa divide 45 sem deixar resto.
A) 2 não é divisor de 45. Portanto, essa alternativa não é a correta.
B) 8 não é divisor de 45. Portanto, essa alternativa não é a correta.
C) 3, 5, 9 e 15 são divisores de 45. Portanto, essa é a alternativa correta.
D) 10 não é divisor de 45. Portanto, essa alternativa não é a correta.

5) A idade da minha irmã é um múltiplo de 7 maior que 30 e menor que 40. Qual é a idade da minha irmã?

A) 34 anos.
B) 35 anos.
C) 37 anos.
D) 42 anos.

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Resposta correta é a letra B) 35 anos
A idade da irmã é um múltiplo de 7 maior que 30 e menor que 40. Portanto, a idade da irmã pode ser encontrada verificando os múltiplos de 7 entre 30 e 40. Os múltiplos de 7 nesse intervalo são 35 e 42. Como a idade da irmã é menor que 40, a idade correta é 35 anos.
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6) O número 45 tem 6 divisores. Quais são esses divisores? Quantos e quais são primos?

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O número 45 tem 6 divisores, que são: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Dentre esses divisores, os primos são 3 e 5, totalizando 2 divisores primos.

7) Marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas. Nas afirmações falsas dê um contraexemplo.

A)( ) 2 é o único primo par.
B)( ) 1 é múltiplo de todos os números.
C)( ) 8 é divisor de 60.
D)( ) 45 é múltiplo de 9.

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  • (V) 2 é o único primo par.
  • (F) 1 é múltiplo de todos os números. Contraexemplo: 1 não é múltiplo de 2.
  • (F) 8 é divisor de 60. Contraexemplo: 60 ÷ 8 = 7,5.
  • (V) 45 é múltiplo de 9.
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8) Escreva os dez primeiros múltiplos de 8 e os múltiplos de 5 que estão entre 9 e 37

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a) Os dez primeiros múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.

b) Os múltiplos de 5 que estão entre 9 e 37 são: 10, 15, 20, 25, 30, 35.