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Questões Sobre Produtos Notáveis - Matemática - 8º ano

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1) Associe cada igualdade a uma das afirmações, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes.

I. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
II. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
III. (x + y) · (x – y) = x2 – y2

A) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o 1º termo
vezes o 2º, mais o quadrado do 2º termo.

B) O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, mais duas vezes o 1º termo vezes
o 2º termo, mais o quadrado do 2º termo.

C) O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do
2º termo.

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A resposta correta é:

I : B
II : A
III : C

Explicação:

I. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Esta igualdade corresponde à regra do quadrado da soma, que afirma que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Portanto, a afirmação correta é a B.

II. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Esta igualdade também corresponde à regra do quadrado da soma, com a diferença de que os sinais dos termos são trocados.

Portanto, a afirmação correta é a A.

III. (x + y) · (x – y) = x2 – y2

Esta igualdade corresponde à regra do produto da soma e diferença, que afirma que o produto da soma e da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Portanto, a afirmação correta é a C.

Aqui está uma tabela que resume as respostas:

IgualdadeRegraAfirmação
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2Quadrado da somaB
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2Quadrado da somaA
(x + y) · (x – y) = x2 – y2Produto da soma e diferençaC
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2) Simplifique a expressão abaixo:

(x + 2)² + (x + 2).(x – 2) + (x – 2)²

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De acordo com a regra do quadrado da soma, temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Portanto, a expressão (x + 2)² pode ser escrita como:

(x + 2)² = x² + 2(x)(2) + 2²

Resolvendo a expressão, obtemos:

x² + 4x + 4

Da mesma forma, a expressão (x – 2)² pode ser escrita como:

(x – 2)² = x² – 2(x)(2) + 2²

Resolvendo a expressão, obtemos:

x² – 4x + 4

Substituindo as expressões (x + 2)² e (x – 2)² na expressão original, temos:

(x + 2)² + (x + 2).(x – 2) + (x – 2)² =
x² + 4x + 4 + (x² – 4x + 4)

Resolvendo a expressão, obtemos:

2x² + 4

Portanto, a expressão simplificada é 2x² + 4.

3) Uma das seguintes igualdades está errada. Qual delas?

  • A) ( 2a – b ) . ( 2a + b ) = 4a² – b²
  • B) ( 2a + 2b )² = 4a² + 4ab + ab²
  • C) ( 2a + b )² = 4a² + 4ab + b²
  • D) ( b + 2a ) . ( b – 2a ) = b² – 4a²
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A resposta correta é a letra B).

A regra do quadrado da soma é:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Portanto, a igualdade correta é:

(2a + 2b)² = (2a)² + 2(2a)(2b) + (2b)²

Resolvendo a expressão, obtemos:

4a² + 8ab + 4b²

A igualdade B afirma que o resultado é 4a² + 4ab + ab².

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4) Usando a regra dos produtos notáveis, determine o polinômio que representa:

A) a área de um quadrado cujo lado mede ( 2x + y ) unidades.

B) o volume de um cubo cuja a aresta mede ( x + 2y ) unidades

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A) Área de um quadrado

A área de um quadrado é calculada pela multiplicação do lado por si mesmo. Portanto, a área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) unidades é:

(2x + y)2 = (2x + y)(2x + y)

Aplicando a regra da potência de soma, temos:

(2x + y)2 = 4x2 + 4xy + y2

Portanto, o polinômio que representa a área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) unidades é 4x2 + 4xy + y2

B) Volume de um cubo

O volume de um cubo é calculado pela multiplicação das três dimensões do cubo. Portanto, o volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y) unidades é:

(x + 2y)3 = (x + 2y)(x + 2y)(x + 2y)

Aplicando a regra da potência de soma, temos:

(x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

5) Usando as regras dos produtos notáveis, determine o valor de cada expressão

A) ( 7 + 3 ).( 7 – 3 )
B) ( 7 + 3 )3
C) ( 7 + 3 )2
D) ( 7 – 3 )2

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A) ( 7 + 3 ) ( 7 – 3 )

Segundo a regra do produto de diferença de quadrados, temos que:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)(7 - 3) = 7² - 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² - 3² = 49 - 9 = 40

Portanto, o valor da expressão é 40.

B) ( 7 + 3 )3

A letra B trata-se do cubo da soma, que é definido pela seguinte regra:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)³ = 7³ + 3 * 7² * 3 + 3 * 7 * 3² + 3³

Resolvendo a expressão, obtemos:

7³ + 3 * 7² * 3 + 3 * 7 * 3² + 3³ = 343 + 3 * 49 * 3 + 3 * 7 * 9 + 27 = 343 + 441 + 189 + 27 = 1000

Portanto, o valor da expressão é 1000.

C) ( 7 + 3 )²

Segundo a quadrado da soma, temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)² = 7² + 2 * 7 * 3 + 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² + 2 * 7 * 3 + 3² = 49 + 42 + 9 = 100

Portanto, o valor da expressão é 100.

d) ( 7 – 3 )²

Segundo a regra da quadrado da diferença, temos que:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 - 3)² = 7² - 2 * 7 * 3 + 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² - 2 * 7 * 3 + 3² = 49 - 42 + 9 = 16

Portanto, o valor da expressão é 16.

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