Questões Sobre Produtos Notáveis - Matemática - 8º ano

As alternativas corretas são B) x² + 2x + 1 e E) x² + 6x + 9

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão algébrica que pode ser escrita na forma (a±b)² o que se expande para a²±2ab+b². Ou seja, ele tem três termos onde:

1. O primeiro termo é um quadrado perfeito (a²).
2. O terceiro termo é um quadrado perfeito (b²).
3. O segundo termo é duas vezes o produto das raízes quadradas dos primeiro e terceiro termos (±2ab).

Vamos analisar cada alternativa:

A) x²–2x+4

• Primeiro termo: x² (é um quadrado perfeito, (x)²).
• Terceiro termo: 4 (é um quadrado perfeito, (2)²).
• Segundo termo: −2x. Se fosse um trinômio quadrado perfeito, deveria ser ±2ab. Aqui, −2x deveria ser ±2⋅x⋅2, que seria ±4x. Então, não é um trinômio quadrado perfeito.

B) x²+2x+1

• Primeiro termo: x² (é um quadrado perfeito, (x)²).
• Terceiro termo: 1 (é um quadrado perfeito, (1)²).
• Segundo termo: 2x. Se fosse um trinômio quadrado perfeito, deveria ser ±2ab. Aqui, 2x=2⋅x⋅1, que está correto.
• Portanto, x²+2x+1 é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser escrito como (x+1)².

C) x²–6x+36

• Primeiro termo: x² (é um quadrado perfeito, (x)²).
• Terceiro termo: 36 (é um quadrado perfeito, (6)²).
• Segundo termo: −6x. Se fosse um trinômio quadrado perfeito, deveria ser ±2ab. Aqui, −6x=−2⋅x⋅6, que seria −12x. Então, não é um trinômio quadrado perfeito.

D) x²–2x–1

• Primeiro termo: x² (é um quadrado perfeito, (x)²).
• Terceiro termo: −1 (não é um quadrado perfeito).
• Portanto, não é um trinômio quadrado perfeito.

E) x²+6x+9

• Primeiro termo: x² (é um quadrado perfeito, (x)²).
• Terceiro termo: 9 (é um quadrado perfeito, (3)²).
• Segundo termo: 6x. Se fosse um trinômio quadrado perfeito, deveria ser ±2ab. Aqui, 6x=2⋅x⋅3, que está correto.
• Portanto, x²+6x+9 é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser escrito como (x+3)².

Portanto, as alternativas que apresentam trinômios quadrados perfeitos são B) x²+2x+1 e E) x²+6x+9.

A resposta correta é:

I : B
II : A
III : C

Explicação:

I. (x + y)² = x² + 2xy + y²

Esta igualdade corresponde à regra do quadrado da soma, que afirma que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Portanto, a afirmação correta é a B.

II. (x – y)² = x² – 2xy + y²

Esta igualdade também corresponde à regra do quadrado da soma, com a diferença de que os sinais dos termos são trocados.

Portanto, a afirmação correta é a A.

III. (x + y) · (x – y) = x² – y²

Esta igualdade corresponde à regra do produto da soma e diferença, que afirma que o produto da soma e da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Portanto, a afirmação correta é a C.

Aqui está uma tabela que resume as respostas:

De acordo com a regra do quadrado da soma, temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Portanto, a expressão (x + 2)² pode ser escrita como:

(x + 2)² = x² + 2(x)(2) + 2²

Resolvendo a expressão, obtemos:

x² + 4x + 4

Da mesma forma, a expressão (x – 2)² pode ser escrita como:

(x – 2)² = x² – 2(x)(2) + 2²

Resolvendo a expressão, obtemos:

x² – 4x + 4

Substituindo as expressões (x + 2)² e (x – 2)² na expressão original, temos:

(x + 2)² + (x + 2).(x – 2) + (x – 2)² =
x² + 4x + 4 + (x² – 4x + 4)

Resolvendo a expressão, obtemos:

2x² + 4

Portanto, a expressão simplificada é 2x² + 4.

A resposta correta é a letra B).

A regra do quadrado da soma é:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Portanto, a igualdade correta é:

(2a + 2b)² = (2a)² + 2(2a)(2b) + (2b)²

Resolvendo a expressão, obtemos:

4a² + 8ab + 4b²

A igualdade B afirma que o resultado é 4a² + 4ab + ab².

A) Área de um quadrado

A área de um quadrado é calculada pela multiplicação do lado por si mesmo. Portanto, a área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) unidades é:

(2x + y)² = (2x + y)(2x + y)

Aplicando a regra da potência de soma, temos:

(2x + y)² = 4x² + 4xy + y²

Portanto, o polinômio que representa a área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) unidades é 4x² + 4xy + y²

B) Volume de um cubo

O volume de um cubo é calculado pela multiplicação das três dimensões do cubo. Portanto, o volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y) unidades é:

(x + 2y)³ = (x + 2y)(x + 2y)(x + 2y)

Aplicando a regra da potência de soma, temos:

(x + 2y)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

A) ( 7 + 3 ) ( 7 – 3 )

Segundo a regra do produto de diferença de quadrados, temos que:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)(7 - 3) = 7² - 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² - 3² = 49 - 9 = 40

Portanto, o valor da expressão é 40.

B) ( 7 + 3 )³

A letra B trata-se do cubo da soma, que é definido pela seguinte regra:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)³ = 7³ + 3 * 7² * 3 + 3 * 7 * 3² + 3³

Resolvendo a expressão, obtemos:

7³ + 3 * 7² * 3 + 3 * 7 * 3² + 3³ = 343 + 3 * 49 * 3 + 3 * 7 * 9 + 27 = 343 + 441 + 189 + 27 = 1000

Portanto, o valor da expressão é 1000.

C) ( 7 + 3 )²

Segundo a quadrado da soma, temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 + 3)² = 7² + 2 * 7 * 3 + 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² + 2 * 7 * 3 + 3² = 49 + 42 + 9 = 100

Portanto, o valor da expressão é 100.

d) ( 7 – 3 )²

Segundo a regra da quadrado da diferença, temos que:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Substituindo a e b por 7 e 3, temos:

(7 - 3)² = 7² - 2 * 7 * 3 + 3²

Resolvendo a expressão, obtemos:

7² - 2 * 7 * 3 + 3² = 49 - 42 + 9 = 16

Portanto, o valor da expressão é 16.