Questões Sobre Múltiplos e Divisores - Matemática - 6º ano

Para que a carta de John chegue até Peter, o mínimo que John precisa fazer é enviar 108 cartas.

Agora, vamos entender como chegamos a esse número:

Imagine que você tem uma caixa cheia de bolas numeradas de 1000 a 9999. John precisa encontrar as bolas que têm números que são múltiplos de 5 e 7 e que terminam com o número 0. Essas bolas especiais também são múltiplos de 10, porque terminam com 0.

Então, John está procurando por bolas que têm números que são múltiplos de 70, já que 70 é o número que você obtém quando multiplica 5 por 7. A primeira bola que ele encontra na caixa é a de número 1050, que é o primeiro múltiplo de 70 com quatro dígitos. Se você pensar nisso como uma multiplicação, é como

35 × 7

Agora, John procura pela última bola que se encaixa nas regras, e ele encontra a bola de número 9940. Isso é como

142 × 7

Para descobrir quantas bolas estão entre a primeira e a última, John faz uma pequena conta: ele subtrai 35 (o número de vezes que 7 cabe em 1050) de 142 (o número de vezes que 7 cabe em 9940) e adiciona 1, porque ele está contando as duas bolas que ele já tem.

Então, a conta fica assim:

142 − 35 + 1 = 108

E é assim que John descobre que precisa enviar pelo menos 108 cartas para ter certeza de que uma delas vai chegar nas mãos do Peter.

Os divisores do 20 são: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Para obter os divisores de um número, podemos usar a decomposição em fatores primos, que é um método que consiste em escrever o número como um produto de números primos. Por exemplo, para decompor o número 20 em fatores primos, podemos fazer o seguinte:

• Primeiro, você precisa decompor o 20 em fatores primos, ou seja, em números que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. Para isso, você pode usar a técnica da divisão sucessiva, que consiste em dividir o 20 pelo menor número primo possível, até chegar ao 1. Veja o exemplo:20 | 2 10 | 2 5 | 5 1 |
• Nesse caso, o menor número primo que divide o 20 é o 2, então você divide o 20 por 2 e obtém o 10. Depois, você repete o processo com o 10, que é divisível pelo 2, que também é primo. Você divide o 10 por 2 e obtém o 5. Como o 5 é primo, você divide ele por ele mesmo e obtém o 1. Quando você chega ao 1, você para de dividir. Agora, você pode escrever o 20 como um produto dos fatores primos que você usou na divisão, que são o 2 e o 5. Assim, você tem que 20 = 2 x 2 x 5.
• Segundo, você precisa encontrar todos os possíveis produtos entre os fatores primos e seus expoentes, que são os números que indicam quantas vezes o fator é multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, no caso do 20, o 2 tem expoente 2, pois ele aparece duas vezes na decomposição. Já o 5 tem expoente 1, pois ele aparece uma vez na decomposição. Você pode escrever o 20 como 20 = 2² x 5¹, usando os expoentes.
• Terceiro, você precisa multiplicar entre si todos os fatores primos e seus expoentes, usando a regra de que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Por exemplo, para encontrar o divisor 1, você pode usar o 2 elevado a zero e o 5 elevado a zero, pois 1 = 2⁰ x 5⁰. Para encontrar o divisor 2, você pode usar o 2 elevado a um e o 5 elevado a zero, pois 2 = 2¹ x 5⁰. Para encontrar o divisor 4, você pode usar o 2 elevado a dois e o 5 elevado a zero, pois 4 = 2² x 5⁰. E assim por diante, até encontrar todos os divisores possíveis. Veja a tabela abaixo com todos os divisores do 20 e suas respectivas multiplicações:
  

  Divisor	Multiplicação
  1	20 x 50
  2	21 x 50
  4	22 x 50
  5	20 x 51
  10	21 x 51
  20	22 x 51

• Quarto, você pode conferir se encontrou todos os divisores do 20, contando quantos são e comparando com a fórmula que diz que o número de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos mais um. Por exemplo, no caso do 20, o número de divisores é igual a (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6. Como você encontrou 6 divisores na tabela, você pode ter certeza de que não faltou nenhum.

Os divisores do 18 são: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Para obter os divisores de um número, podemos usar a decomposição em fatores primos, que é um método que consiste em escrever o número como um produto de números primos. Por exemplo, para decompor o número 18 em fatores primos, podemos fazer o seguinte:

• Primeiro, você precisa decompor o 18 em fatores primos, ou seja, em números que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. Para isso, você pode usar a técnica da divisão sucessiva, que consiste em dividir o 18 pelo menor número primo possível, até chegar ao 1. Veja o exemplo:18 | 2
  9 | 3
  3 | 3
  1 |
• Nesse caso, o menor número primo que divide o 18 é o 2, então você divide o 18 por 2 e obtém o 9. Depois, você repete o processo com o 9, que é divisível pelo 3, que também é primo. Você divide o 9 por 3 e obtém o 3. Como o 3 é primo, você divide ele por ele mesmo e obtém o 1. Quando você chega ao 1, você para de dividir. Agora, você pode escrever o 18 como um produto dos fatores primos que você usou na divisão, que são o 2 e o 3. Assim, você tem que 18 = 2 x 3 x 3.
• Segundo, você precisa encontrar todos os possíveis produtos entre os fatores primos e seus expoentes, que são os números que indicam quantas vezes o fator é multiplicado por ele mesmo. Por exemplo, no caso do 18, o 2 tem expoente 1, pois ele aparece uma vez na decomposição. Já o 3 tem expoente 2, pois ele aparece duas vezes na decomposição. Você pode escrever o 18 como 18 = 2¹ x 3², usando os expoentes.
• Terceiro, você precisa multiplicar entre si todos os fatores primos e seus expoentes, usando a regra de que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Por exemplo, para encontrar o divisor 1, você pode usar o 2 elevado a zero e o 3 elevado a zero, pois 1 = 2⁰ x 3⁰. Para encontrar o divisor 2, você pode usar o 2 elevado a um e o 3 elevado a zero, pois 2 = 2¹ x 3⁰. Para encontrar o divisor 3, você pode usar o 2 elevado a zero e o 3 elevado a um, pois 3 = 2⁰ x 3¹. E assim por diante, até encontrar todos os divisores possíveis. Veja a tabela abaixo com todos os divisores do 18 e suas respectivas multiplicações:
  

  Divisor	Multiplicação
  1	20 x 30
  2	21 x 30
  3	20 x 31
  6	21 x 31
  9	20 x 32
  18	21 x 32

• Quarto, você pode conferir se encontrou todos os divisores do 18, contando quantos são e comparando com a fórmula que diz que o número de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos mais um. Por exemplo, no caso do 18, o número de divisores é igual a (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x 3 = 6. Como você encontrou 6 divisores na tabela, você pode ter certeza de que não faltou nenhum.

Alternativa correta letra D) Múltiplos de 4

O conjunto de números {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …} é formado pelos múltiplos de 4.

• (V) 2 é o único primo par.
• (F) 1 é múltiplo de todos os números. Contraexemplo: 1 não é múltiplo de 2.
• (F) 8 é divisor de 60. Contraexemplo: 60 ÷ 8 = 7,5.
• (V) 45 é múltiplo de 9.

Para que a carta de John chegue até Peter, o mínimo que John precisa fazer é enviar 108 cartas.

Agora, vamos entender como chegamos a esse número:

Imagine que você tem uma caixa cheia de bolas numeradas de 1000 a 9999. John precisa encontrar as bolas que têm números que são múltiplos de 5 e 7 e que terminam com o número 0. Essas bolas especiais também são múltiplos de 10, porque terminam com 0.

Então, John está procurando por bolas que têm números que são múltiplos de 70, já que 70 é o número que você obtém quando multiplica 5 por 7. A primeira bola que ele encontra na caixa é a de número 1050, que é o primeiro múltiplo de 70 com quatro dígitos. Se você pensar nisso como uma multiplicação, é como

35 × 7

Agora, John procura pela última bola que se encaixa nas regras, e ele encontra a bola de número 9940. Isso é como

142 × 7

Para descobrir quantas bolas estão entre a primeira e a última, John faz uma pequena conta: ele subtrai 35 (o número de vezes que 7 cabe em 1050) de 142 (o número de vezes que 7 cabe em 9940) e adiciona 1, porque ele está contando as duas bolas que ele já tem.

Então, a conta fica assim:

142 − 35 + 1 = 108

E é assim que John descobre que precisa enviar pelo menos 108 cartas para ter certeza de que uma delas vai chegar nas mãos do Peter.