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Questões Sobre o Descritor D31 - Matemática - 3º ano do ensino médio

D31: Determinar a solução de um sistema linear associando-o à uma matriz.

1) José precisava comprar ração e dar um banho em seu cão. Foi a uma “pet shop” e deparou-se com a seguinte promoção:

[tex]{\Large{•}}[tex] 3 banhos para o seu cão + 2 pacotes de ração = R$ 130,00

[tex]{\Large{•}}[tex] 4 banhos para o seu cão + 3 pacotes de ração = R$ 180,00

Qual o valor, em reais, do banho e da ração, respectivamente?

  • A) 20 e 10.
  • B) 25 e 15.
  • C) 30 e 20.
  • D) 35 e 25.
  • E) 40 e 30.
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A resposta correta é a letra C)

Equacionando o problema:

preço do banho = x

preço da ração = y

   [tex] \begin{cases} 3x + 2y = 130   (I) \\ 4x + 3y = 180   (II) \end{cases} [tex]

Resolver pelo método da adição. Multiplica a equação (I) por (4) e a (II), por (-3).

   [tex] \underline{ \begin{cases} 12x + 8y = 520 \\ -12x - 9y = -540 \end{cases} } [tex] +

   [tex]- y = - 20  ×(-1)[tex]

   [tex] y = 20\ kg\ de\ ração [tex]

e,

   [tex] 3x + 2y = 130 [tex]

   [tex] 3x + 2 \cdot 20 = 130 [tex]

   [tex] 3x + 40 = 130 [tex]

   [tex] 3x = 130 - 40 [tex]

   [tex] x = \frac{90}{3} = 30\ banhos [tex]

Portanto, opção "C".

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2) [tex] \begin{cases} – x + 2y + z = 8 \\ y – 2z = -4 \\ x + 3z = 8 \end{cases} [tex]

  • A) {(1, 3, 3)}
  • B) {(– 31, – 10, – 3)}
  • C) {(31, – 10, – 3)}
  • D) {(– 1, 4, 4)}
  • E) {(– 1, 2, 3)}
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A resposta correta é a letra E)

Iremos resolver está questão ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas (soluções) e verificar a validade.

Vamos começar pela equação (III), por ser considerada mais simples.

A) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] 1 + 3 \cdot 3 = 10 ≠ 8. [tex]   (Falsa)

B) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -31 + 3 \cdot (-3) = -40 ≠ 8. [tex]   (Falsa)

C) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] 31 + 3 \cdot (-3) = 22 ≠ 8.[tex]   (Falsa)

D) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -1 + 3 \cdot (4) = 11 ≠ 8.[tex]   (Falsa)

E) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -1 + 3 \cdot (3) = 8 = 8. [tex]   (Verdadeira)

Portanto, opção "E".

3) O alimento CHOCOBATE é vendido em três tamanhos, A, B e C, com preços diferentes.

[tex]{\Large{•}}[tex] Se Jorge comprar 3 unidades do tamanho A, 2 do tamanho B e 1 do C, pagará 14 reais.

[tex]{\Large{•}}[tex] Se ele comprar 2 unidades do tamanho A, 1 do B e 2 do C, pagará 17 reais.

[tex]{\Large{•}}[tex] Mas, se ele comprar 3 do A, 3 do B e 1 do C, pagará 20 reais.

Qual é o sistema de equação que permite calcular o preço de cada um dos tamanhos de CHOCOBATE?

  • A) [tex] \begin{cases} 3A + 3B = 14 \\ 3A + 3C = 17 \\ 2A + 3B = 20 \end{cases} [tex]
  • B) [tex] \begin{cases} 3A + 2B = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B = 20 \end{cases} [tex]
  • C) [tex] \begin{cases} 3A + 2B = 14 \\ 3A + 2C = 17 \\ 2A + 3B = 20 \end{cases} [tex]
  • D) [tex] \begin{cases} 3A + 2B + C = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B = 20 \end{cases} [tex]
  • E) [tex] \begin{cases} 3A + 2B + C = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B + C = 20 \end{cases} [tex]
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A resposta correta é a letra E)

Chamaremos o tamanho do CHOCOBATE de "A", "B" e "C". Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

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4) A solução do sistema seguir, é:

[tex] \begin{cases} x + y + z = 2    (I) \\ 2x – y + 3z = -3  (II) \\ x – y + z = -2     (III) \end{cases}[tex]

  • A) (–1, –2, 1)
  • B) (1, 2, –1)
  • C) (1, 0, 1)
  • D) (–1, 2, 1)
  • E) (–1, 0, 1)
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A resposta correta é a letra D)

Resolvendo o sistema equações.

Primeiro multiplica a equação (III) por (-1) e soma com a equação (I).

    [tex] \underline{ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ - x + y - z = 2 \end{cases} } [tex] +

    [tex] 2y = 4   \Longrightarrow   y = \frac{4}{2} = 2 [tex]

Agora, multiplica a equação (I) por (-2) e soma com a equação (II).

    [tex] \underline{ \begin{cases} -2x - 2y - 2z = -4 \\ 2x - y + 3z = -3 \end{cases} } [tex] +

    [tex] -3y + z = -7 [tex]

    [tex] -3 \cdot (2) + z = -7 [tex]

    [tex] z = - 7 + 6 [tex]

    [tex] z = - 1 [tex]

E, por último, substituindo na equação (I).

    [tex] x + y + z = 2 [tex]

    [tex] x + 2 - 1 = 2 [tex]

    [tex] x = 2 - 2 + 1 [tex]

    [tex] x = 1 [tex]

Logo, a solução é [tex] S = (1, 2, -1)[tex]

Portanto, opção "B".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

5) A loja COMPROU GANHOU apresentou as quantidades vendidas do Produto A e do Produto B, por meio da tabela abaixo:

No mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade.

A matriz que representa esta situação é

  • A) [tex] \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 26 \end {bmatrix} [tex]
  • B) [tex] \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 20 & 24 \end {bmatrix} [tex]
  • C) [tex] \begin{bmatrix} 10 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix} [tex]
  • D) [tex] \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix} [tex]
  • E) [tex] \begin{bmatrix} 24 & 10 \\ 18 & 10 \end {bmatrix} [tex]
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A resposta correta é a letra D)

Como no mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade. E, representando estas informações em forma de Matriz, temos:

    [tex] \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 10 & 36 \\ 20 & 48 \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix} [tex]

Portanto, opção "D".

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6) Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em quantidades diferentes.

[tex]{\Large{•}}[tex] Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando um total de R$ 119,00.

[tex]{\Large{•}}[tex] Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas, gastando um total de R$ 202,00.

[tex]{\Large{•}}[tex] Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00.

Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

  • A) [tex] \begin{cases} x + 2y + 2z = 119 \\ 2x + 3y + z = 202 \\ 3x + 5y + 2z = 118 \end{cases} [tex]
  • B) [tex] \begin{cases} 3x + 2y + z = 119 \\ 5x + 3y + 2z = 202 \\ 2x + y + 2z = 118 \end{cases} [tex]
  • C) [tex] \begin{cases} 2x + 2y + z = 119 \\ x + 3y + 2z = 202 \\ 2x + 5y + 3z = 118 \end{cases} [tex]
  • D) [tex] \begin{cases} 3x + 5y + 2z = 119 \\ 2x + 3y + z = 202 \\ x + 2y + 2z = 118 \end{cases} [tex]
  • E) [tex] \begin{cases} x + 2y + 3z = 119 \\ 2x + 3y + 5z = 202 \\ 2x + y + 2z = 118 \end{cases} [tex]
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A resposta correta é a letra E)

Chamaremos a sandália de "x", saia de "y" e camisetas de "z". Também, a 1ª equação para Isabel, a 2ª para Helena e a 3ª, para Carla. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

7) Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes X, Y e Z. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durantes três dias consecutivos revelou que:

[tex]{\Large{•}}[tex] No 1º dia, foram vendidos dois componentes da marca X, um da marca Y e um da marca Z, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00;

[tex]{\Large{•}}[tex] No 2º dia, foram vendidos quatro componentes da marca X, três da marca Y e nenhum da marca Z, num total de R$ 240,00;

[tex]{\Large{•}}[tex] No último dia, não houve vendas da marca X, mas foram vendidos cinco da marca Y e três da marca Z, totalizando R$ 350,00.

[tex] \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 250 \\ 4 & 3 & 0 & 240 \\ 0 & 5 & 3 & 350 \end {bmatrix} [tex]

Para determinar os preços dos componentes da marca X, Y e Z, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

  • A) [tex] \begin{cases} 2x + 3y + 4z = 150 \\ 4x + 0y + 5z = 240 \\ x + 2y + z = 350 \end{cases} [tex]
  • B) [tex] \begin{cases} x + y + 2z = 150 \\ 0x + 3y + 4z = 240 \\ 3x + 5y + 0z = 350 \end{cases} [tex]
  • C) [tex] \begin{cases} 2x + y + z = 150 \\ 4x + 3y + 0z = 240 \\ 0x + 5y + 3z = 350 \end{cases} [tex]
  • D) [tex] \begin{cases} 2x + y + z = 150 \\ 4x + 3y + 0z = 240 \\ 0x + 5y + 3z = 350 \end{cases} [tex]
  • E) [tex] \begin{cases} 2x + 4y + 0z = 150 \\ 1x + 3y + 5z = 240 \\ x + 0y + 3z = 350 \end{cases} [tex]
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A resposta correta é a letra E)

Chamaremos os componentes eletrônicos de "x", "y" e "z". Também, a 1ª equação para 1º dia, a 2ª para o 2º dia e a 3ª para o 3º dia. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

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8) Um funcionário do depósito separou as peças guardadas por peso, marcando com a mesma cor as peças de pesos iguais. O dono do depósito observou três pedidos e os seus respectivos pesos:

[tex]{\Large{•}}[tex] um pedido contendo uma peça amarela, uma azul e uma verde pesou 100 g;

[tex]{\Large{•}}[tex] outro pedido contendo duas peças amarelas, uma azul e três verdes pesou 200 g; e,

[tex]{\Large{•}}[tex] um pedido contendo uma peça amarela, duas azuis e quatro verdes pesou 250 g.

Com essas informações, o dono construiu um sistema de equações e conseguiu, então, calcular o peso de cada peça.

Um sistema que permite calcular o peso de cada peça é

  • A) [tex] \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 200 \\ x + 2y + 4z = 250 \end{cases} [tex]
  • B) [tex] \begin{cases} x + 2y + z = 100 \\ x + y + 2z = 200 \\ x + 3y + 4z = 250 \end{cases} [tex]
  • C) [tex] \begin{cases} x + y + z = 100 \\ x + y + z = 200 \\ x + y + z = 250 \end{cases} [tex]
  • D) [tex] \begin{cases} x + y + z = 250 \\ 2x + y + 3z = 200 \\ x + 2y + 4z = 100 \end{cases} [tex]
  • E) [tex] \begin{cases} x + y + z = 550 \\ 2x + y + 3z = 550 \\ x + 2y + 4z = 550 \end{cases} [tex]
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A resposta correta é a letra A)

Chamaremos a peça amarela de x, a azul de y e a verde de z. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "A".

9) A matriz M é a forma escalonada do sistema a seguir:

[tex] \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y – z = 4 \\ x – y + 2z = -2 \end{cases} [tex]     [tex] M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \end {bmatrix} [tex]

A solução desse sistema é o terno

  • A) (0, 1, 0).
  • B) (1, – 3, – 4).
  • C) (1, 1, – 1).
  • D) (1, 2, 1).
  • E) (2, 0, 4).
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A resposta correta é a letra C)

Utilizando a forma matriz M que está na forma escalonada. Logo, começando pela 3ª linha da matriz M.

    [tex] 0x + 0y + 4z = -4 [tex]

    [tex] z = \frac{-4}{4} = -1 [tex]

Agora, utilizando a 2ª linha da matriz M.

    [tex] 0x + y + z = 0 [tex]

    [tex] y - 1 = 0 [tex]

    [tex] y = 1 [tex]

E, por último, utilizando a 1ª linha da matriz M.

    [tex] x + 2y + z = 2 [tex]

    [tex] x + 2 \cdot 1 - 1 = 2 [tex]

    [tex] x = 2 + 1 - 2 [tex]

    [tex] x = 1 [tex]

Logo, a solução é [tex]S = (1, 1, -1)[tex]

Portanto, opção "C".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

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10) Observe o sistema linear abaixo.

Qual é a solução desse sistema?

  • A) (2, 4, 6)
  • B) (– 1, – 3, 3)
  • C) (15, 24, 6)
  • D) (4, 12, – 25)
  • E) (13, 65, 390)
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A resposta correta é a letra B)

Resolvendo o sistema de equação:

    [tex] \begin{cases} 2x + 4y + 6z = 4    (I) \\ 3x - 5y = 12    (II) \\ 10x + 5y = -25    (III) \end{cases} [tex]


Somando as equações (II) e (III), temos:

    [tex] \underline{ \begin{cases} 3x - 5y = 12 \\ 10x + 5y = -25 \end{cases} } [tex] +

    [tex] 13x = -13   \Longrightarrow   x = \frac{-13}{13} = -1 [tex]

Agora, substituindo na equação (II).

    [tex] 3x - 5y = 12 [tex]

    [tex] 3 \cdot (-1) - 5y = 12 [tex]

    [tex] -3 -5y = 12 [tex]

    [tex] -5y = 12 + 3 [tex]

    [tex] y = \frac{-15}{5} = -3 [tex]

E por último substitui na equação (I).

    [tex] 2x + 4y + 6z = 4 [tex]

    [tex] 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-3) + 6z = 4 [tex]

    [tex] -2 -12 + 6z = 4 [tex]

    [tex] 6z = 4 + 12 + 2 [tex]

    [tex] z = \frac{18}{6} = 3 [tex]

Logo, a solução é [tex]S = (– 1, – 3, 3)[tex]

Portanto, opção "B".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

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