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Questões Sobre o Descritor D29 - Matemática - 3º ano do ensino médio

D29: Resolver problema que envolva função exponencial.

1) O administrador de uma fábrica de peças de automóveis utiliza a função [tex] P(t) = 30 \cdot 3^{t+1}[tex] para estimar a quantidade de peças que são produzidas por hora. Nessa função, P(t) corresponde ao número de peças produzidas e t é o tempo em horas.

Qual é o tempo necessário para que sejam fabricadas 2 430 peças?

  • A) 2 h
  • B) 3 h
  • C) 4 h
  • D) 5 h
  • E) 9 h
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A resposta correta é a letra B)

Observe que:

    [tex] P(t) = 30 \cdot 3^{t+1}[tex]

    [tex] 2\ 430 = 30 \cdot 3^{t+1}[tex]

    [tex] \frac{2\ 430}{30} = 3^{t+1} [tex]

    [tex] 81 = 3^{t+1} [tex]

    [tex] 3^{4} = 3^{t+1} [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] t + 1 = 4 [tex]

    [tex] t = 4 - 1 [tex]

    [tex] x = 3\ horas [tex]

Logo, opção B.

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2) A evolução prevista para uma certa cultura de bactérias é dada por [tex] N(t) = 2 \cdot 3^t [tex], em que N é o número de bactérias, e t é o tempo em anos.

Qual será o tempo necessário para que o número de bactérias seja de 486?

  • A) 1 ano.
  • B) 2 anos.
  • C) 3 anos.
  • D) 4 anos.
  • E) 5 anos.
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A resposta correta é a letra E)

Observe que:

    [tex] N(t) = 2 \cdot 3^t [tex]

    [tex] 486 = 2 \cdot 3^t [tex]

    [tex] \frac{486}{2} = 3^t [tex]

    [tex] 243 = 3^t [tex]

    [tex] 3^{5} = 3^t [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] x = 5\ anos [tex]

Logo, opção E.

3) Em uma determinada região do Nordeste, a área territorial onde acontecem queimadas tem aumentado consideravelmente nos últimos anos, conforme a lei da função [tex] y = 2^{x} \cdot 300 [tex], em que y representa a área, em metros quadrados, onde acontecem as queimadas e a variável x representa o tempo em anos.

Em quanto tempo a área onde acontecem as queimadas chegará a 1200 m²?

  • A) 1 ano
  • B) 2 anos
  • C) 3 anos
  • D) 4 anos
  • E) 12 anos
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A resposta correta é a letra B)

Observe que:

    [tex] y = 2^{x} \cdot 300 [tex]

    [tex] 1\ 200 = 2^{x} \cdot 300 [tex]

    [tex] \frac{1\ 200}{300} = 2^{x} [tex]

    [tex] 4 = 2^{x} [tex]

    [tex] 2^{2} = 2^{x} [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] x = 2\ anos [tex]

Logo, opção B.

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4) Estudos indicam que o número N de camarões criados em cativeiro, decorridos x meses, é dado pela fórmula [tex] N(X) = 500 \cdot 2^{0,5x}[tex].

Qual é a quantidade de camarões criados em cativeiro após 10 meses?

  • A) 1 000
  • B) 2 000
  • C) 3 200
  • D) 5 000
  • E) 16 000
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A resposta correta é a letra E)

Observe que:

    [tex] N(X) = 500 \cdot 2^{0,5x} [tex]

    [tex] N(10) = 500 \cdot 2^{0,5 \cdot 10} [tex]

    [tex] N(10) = 500 \cdot 2^{5} [tex]

    [tex] N(10) = 500 \cdot 32 [tex]

    [tex] N(10) = 16\ 000\ camarões [tex]

Logo, opção E.

5) O crescimento de bactérias em uma cultura obedeceu à função [tex] f(t) = 20 \cdot 2^{t-1}[tex], em que f(t) é o número de bactérias e t, o tempo em horas.

Qual será o tempo necessário para que o número de bactérias seja igual a 20 480?

  • A) 8 horas.
  • B) 9 horas.
  • C) 10 horas.
  • D) 11 horas.
  • E) 12 horas.
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A resposta correta é a letra D)

Observe que:

    [tex] f(t) = 20 \cdot 2^{t-1}[tex]

    [tex] 20\ 480 = 20 \cdot 2^{t-1}[tex]

    [tex] \frac{20\ 480}{20} = 2^{t-1} [tex]

    [tex] 1\ 024 = 2^{t-1} [tex]

    [tex] 2^{10} = 2^{t-1} [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] t-1 = 10 [tex]

    [tex] t = 10 + 1 = 11\ horas [tex]

Logo, opção D.

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6) A taxa de crescimento populacional de uma determinada cidade é da ordem de 1% ao ano. A função que fornece esse crescimento populacional é dada pela expressão: [tex] P(t) = p_{0} \cdot (1,01)^{t} [tex], onde [tex]P_{0} = 10 000[tex] é a população inicial e t, o tempo em anos.

Adote [tex] 1,01^{20} = 1,22.[tex]

Qual é a população dessa cidade após 20 anos?

  • A) 10 100
  • B) 12 000
  • C) 12 200
  • D) 12 332
  • E) 14 640
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A resposta correta é a letra C)

Observe que:

    [tex] P(t) = p_{0} \cdot (1,01)^{t} [tex]

    [tex] P(20) = 10\ 000 \cdot (1,01)^{20} [tex]

    [tex] P(20) = 10\ 000 \cdot 1,22 [tex]

    [tex] P(20) = 12\ 200 [tex]

Logo, opção C.

7) Um determinado elemento químico sofre desintegração com o passar do tempo. Uma vez observada a quantidade inicial [tex] (Q_{0}) [tex], em gramas, desse elemento, é possível calcular a quantidade Q(t), em gramas, ainda existente dessa amostra, após t dias decorridos da observação inicial. Esse cálculo é feito através da função [tex] Q(t) = Q_{0} \cdot (1,5)^{-0,001t} [tex].

Após 1 000 dias da observação inicial de uma amostra de 2 000 gramas, a quantidade ainda existente desse elemento químico será de, aproximadamente,

  • A) 3 000 g
  • B) 2 250 g
  • C) 1 333,33 g
  • D) 666,67 g
  • E) 444,44 g
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A resposta correta é a letra C)

Observe que:

    [tex] Q(t) = Q_{0} \cdot (1,5)^{-0,001t} [tex]

    [tex] Q(1000) = 2000 \cdot (1,5)^{-0,001 \cdot 1000} [tex]

    [tex] Q(1000) = 2000 \cdot (1,5)^{-1} [tex]

    [tex] Q(1000) = 2000 \cdot \frac{1}{1,5} [tex]

    [tex] Q(1000) = \frac{2\ 000}{1,5} [tex]

    [tex] Q(1000) = 1\ 333,33\ g [tex]

Logo, opção C.

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8) O número de bactérias Q em certa cultura é uma função do tempo t e é dado por

[tex] Q(t) = 600 \cdot 3^{2t} [tex]

onde t é medido em horas.

O tempo t para que se tenham 48 600 bactérias é:

  • A) 1 hora.
  • B) 2 horas.
  • C) 3 horas.
  • D) 81 horas.
  • E) 600 horas.
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A resposta correta é a letra B)

Observe que:

    [tex] Q(t) = 600 \cdot 3^{2t} [tex]

    [tex] 48 600 = 600 \cdot 3^{2t} [tex]

    [tex] \frac{48 600}{600} = 3^{2t} [tex]

    [tex] 81 = 3^{2t} [tex]

    [tex] 3^{4} = 3^{2t} [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] 2t = 4 [tex]

    [tex] t = \frac{4}{2} = 2\ horas [tex]

Logo, opção B.

9) A lei [tex] P(t) = 100 \cdot (0,5)^{t} [tex] representa o percentual de agrotóxico P que age sobre a lavoura ao longo do tempo t, em horas.

Qual é o percentual de agrotóxico que age sobre a lavoura em 2 horas?

  • A) 250
  • B) 125
  • C) 100
  • D) 50
  • E) 25
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A resposta correta é a letra E)

Observe que:

    [tex] P(t) = 100 \cdot (0,5)^{t} [tex]

    [tex] P(2) = 100 \cdot (0,5)^{2} [tex]

    [tex] P(2) = 100 \cdot 0,25 [tex]

    [tex] P(2) = 25 \%\ [tex]

Logo, opção E.

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10) Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população A de determinada bacté¬ria cresce segundo a expressão [tex]A(t) = 25 \cdot 2^{t} [tex], onde t representa o tempo em horas.

Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de:

  • A) 2 horas.
  • B) 6 horas.
  • C) 4 horas.
  • D) 8 horas.
  • E) 16 horas.
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A resposta correta é a letra C)

Observe que:

    [tex] A(t) = 25 \cdot 2^{t} [tex]

    [tex] 400 = 25 \cdot 2^{t} [tex]

    [tex] \frac{400}{25} = 2^{t} [tex]

    [tex] 16 = 2^{t} [tex]

    [tex] 2^{4} = 2^{t} [tex]

Igualdade de potências, devemos ter bases e expoentes iguais. Logo:

    [tex] t = 4\ horas [tex]

Logo, opção C.

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