Questões Sobre Análise Combinatória: Permutação - Matemática - 2º ano do ensino médio

A resposta correta é letra D) 1440.

Para permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem, podemos considerar o par AR como um único elemento. Assim, temos 6 elementos distintos para permutar: E, L, O, G, I e AR. A quantidade de permutações simples de 6 elementos é 6!, ou seja, 720. No entanto, como o par AR pode aparecer também como RA, devemos multiplicar esse resultado por 2, para contar as duas possibilidades. Portanto, o número de formas de permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem é 720 x 2, ou seja, 1440.

A alternativa correta é a letra C) 96.

Para resolver esse problema, precisamos usar o conceito de anagrama, que é uma palavra formada pela reordenação das letras de outra palavra. Por exemplo, os anagramas da palavra BRASIL são: BIRSAL, RIBLAS, LIBRAS, etc.

A questão nos pede para contar quantos anagramas da palavra BRASIL têm as vogais lado a lado, e as consoantes também. Isso significa que os anagramas devem ter a forma VVCVVV ou CVVVCV, onde V é uma vogal e C é uma consoante.

Para formar um anagrama com a forma VVCVVV, temos que escolher duas vogais para ocupar as duas primeiras posições. Como temos duas vogais na palavra BRASIL (A e I), podemos fazer isso de 2 maneiras diferentes: AA ou II. Depois, temos que escolher uma das quatro consoantes restantes para ocupar a terceira posição. Podemos fazer isso de 4 maneiras diferentes: B, R, S ou L. Em seguida, temos que escolher uma das três consoantes restantes para ocupar a quarta posição. Podemos fazer isso de 3 maneiras diferentes. E assim por diante, até a sexta posição, que pode ser ocupada de uma única maneira. Portanto, o número de anagramas com a forma VVCVVV é dado por:

2 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 48

Para formar um anagrama com a forma CVVVCV, temos que escolher uma consoante para ocupar a primeira posição. Como temos quatro consoantes na palavra BRASIL (B, R, S e L), podemos fazer isso de 4 maneiras diferentes. Depois, temos que escolher duas vogais para ocupar as duas posições seguintes. Como temos duas vogais na palavra BRASIL (A e I), podemos fazer isso de 2 maneiras diferentes: AA ou II. Em seguida, temos que escolher uma das três consoantes restantes para ocupar a quarta posição. Podemos fazer isso de 3 maneiras diferentes. E assim por diante, até a sexta posição, que pode ser ocupada de uma única maneira. Portanto, o número de anagramas com a forma CVVVCV é dado por:

4 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 = 48

Somando os dois casos, obtemos que o número total de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes também, é:

48 + 48 = 96

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Alternativa correta letra E) 30.

Para resolvê-la, precisamos saber quantas maneiras diferentes podemos pintar um cubo com seis cores distintas, de forma que cada face tenha uma cor diferente.

Uma forma de pensar nisso é escolher uma cor para a face de baixo do cubo, e depois permutar as outras cinco cores nas outras faces. Como temos seis cores para escolher, e cinco fatores de permutação, o número de maneiras de pintar um cubo é 6 x 5! = 720. Porém, esse número conta como diferentes pinturas que são iguais se rotacionarmos o cubo. Para evitar essa contagem repetida, precisamos dividir esse número pelo número de posições diferentes que o cubo pode assumir. Uma forma de contar isso é fixar uma face do cubo, e ver quantas rotações de 90 graus podemos fazer em torno do eixo que passa por essa face. Como o cubo tem quatro faces adjacentes a essa, temos quatro rotações possíveis. Além disso, podemos escolher qualquer uma das seis faces para fixar, então o número total de posições diferentes é 6 x 4 = 24. Portanto, o número de pinturas distintas de um cubo é 720 / 24 = 30. Agora, se temos N cubos pintados dessa forma, cada um deles pode ter uma das 30 pinturas possíveis. Mas se quisermos que eles sejam perfeitamente distintos, não podemos ter dois cubos com a mesma pintura.

Logo, o maior valor possível de N é igual ao número de pinturas distintas, ou seja, 30.

A alternativa correta é a letra C) 9!/(2!.3!)

Para calcular o número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem, podemos usar o seguinte raciocínio:

• A palavra BIOCIÊNCIAS tem 11 letras, mas como as duas últimas já estão fixas, só precisamos permutar as outras 9 letras.
• Dessas 9 letras, há 2 letras I e 3 letras C que se repetem, então precisamos dividir o resultado pela permutação dessas letras repetidas.

Assim, o número de anagramas é dado por:

9! / 2!⋅3!

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

A resposta correta para a questão é a letra D) 48.

Primeiro, vamos considerar os dois adultos que devem ocupar os dois assentos das extremidades da primeira fileira. Como eles podem trocar de posição entre si, há 2! (fatorial de 2) maneiras de fazer isso. Ou seja, 2! = 2 x 1 = 2.

Depois, vamos considerar as quatro crianças que devem ocupar os quatro assentos restantes, sendo um na primeira fileira e três na segunda fileira. Como elas podem trocar de posição entre si, há 4! (fatorial de 4) maneiras de fazer isso. Ou seja, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Portanto, o número total de maneiras de distribuir as seis pessoas nos assentos é o produto das possibilidades dos adultos e das crianças, ou seja, 2! x 4! = 2 x 24 = 48.

A alternativa correta é a letra B) 90.

Para resolver esse problema, precisamos usar a fórmula de permutação com repetição, que é dada por:

Onde n é o número total de elementos, e n₁,n₂,…,n_k são os números de repetições de cada elemento.

No caso da criança, ela tem 6 picolés no total, sendo 2 de baunilha, 2 de morango e 2 de chocolate. Então, temos:

n=6
n₁ = 2
n₂ ​= 2
n₃ = 2

Substituindo na fórmula, temos:
P₆(2,2,2) = 6! / 2!2!2!
P₆(2,2,2) = 720/8
P₆(2,2,2) = 90

Portanto, o número total de modos distintos de consumir os picolés é 90.

Resposta correta letra E) 1.260

Um anagrama é uma ordenação possível das letras de uma palavra, ainda que a palavra obtida não tenha sentido. Para calcular o número de anagramas de uma palavra, podemos usar o conceito de permutação simples ou permutação com repetição, dependendo se a palavra tem letras repetidas ou não. A fórmula geral para permutação com repetição é:

Onde n é o número total de letras da palavra e n₁,n₂,…,n_k são as quantidades de vezes que cada letra se repete. Por exemplo, a palavra ARRANJO tem 7 letras no total, sendo que a letra A se repete 2 vezes e a letra R se repete 2 vezes. Então, o número de anagramas dessa palavra é:

Portanto, a alternativa correta é a letra E