Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

A alternativa correta é letra C

A alternativa correta é letra D

A alternativa correta é letra C

A) A probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é o produto da probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira extração e a probabilidade de tirar outra bola vermelha na segunda extração, com reposição. Como há 5 bolas vermelhas em um total de 8 bolas, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é 5/8. Portanto, a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é:

P(vermelha, vermelha) = P(vermelha) × P(vermelha) = 5/8 × 5/8 = 25/64

B) A probabilidade de ambas as bolas serem brancas é o produto da probabilidade de tirar uma bola branca na primeira extração e a probabilidade de tirar outra bola branca na segunda extração, com reposição. Como há 3 bolas brancas em um total de 8 bolas, a probabilidade de tirar uma bola branca é 3/8. Portanto, a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é:

P(branca, branca) = P(branca) × P(branca)=3/8 × 3/8 = 9/64

Alternativa correta letra D) 5/18.

Para resolver esse problema, precisamos saber como calcular a probabilidade da união de dois eventos, ou seja, a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos eventos. A fórmula para isso é:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Onde A e B são os eventos, P (A) e P (B) são as probabilidades de cada evento ocorrer, e P (A ∩ B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem ao mesmo tempo.

No caso do lançamento de dois dados, o espaço amostral é o conjunto de todos os pares possíveis de números nas faces superiores dos dados. Existem 6 x 6 = 36 pares possíveis, cada um com a mesma probabilidade de 1/36.

O evento A é obter a soma igual a 7. Isso pode acontecer de seis maneiras diferentes: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1). Portanto, a probabilidade de A é 6/36 = 1/6.

O evento B é obter a soma igual a 9. Isso pode acontecer de quatro maneiras diferentes: (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6, 3). Portanto, a probabilidade de B é 4/36 = 1/9.

O evento A ∩ B é obter a soma igual a 7 e 9 ao mesmo tempo. Isso é impossível, pois não há nenhum par de números que satisfaça essa condição. Portanto, a probabilidade de A ∩ B é 0.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) P (A ∪ B) = 1/6 + 1/9 – 0 P (A ∪ B) = 5/18

Portanto, a probabilidade de obter a soma igual a 7 ou 9 no lançamento de dois dados é 5/18.

A alternativa correta é a letra D) 7/72.

A probabilidade de termos um dado branco com o número 2 é igual à soma das probabilidades de escolher a caixa A e tirar o dado branco com o número 2, mais a probabilidade de escolher a caixa B e tirar o dado branco com o número 2.

Para calcular essas probabilidades, podemos usar a regra do produto, que diz que a probabilidade de dois eventos independentes acontecerem é igual ao produto das probabilidades de cada evento

Assim, temos:

• Probabilidade de escolher a caixa A e tirar o dado branco com o número 2 = (1/2) x (1/2) x (1/6) = 1/24
• Probabilidade de escolher a caixa B e tirar o dado branco com o número 2 = (1/2) x (2/3) x (1/6) = 1/18

Somando essas probabilidades, obtemos:

• Probabilidade de termos um dado branco com o número 2 = 1/24 + 1/18 = 7/72

A alternativa correta é a letra A) 1/6.

A probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é dada pela fórmula:

P(BB) = P(B1) * P(B2|B1)

Onde:

• P(BB) é a probabilidade de retirar duas bolas brancas.
• P(B1) é a probabilidade de retirar uma bola branca na primeira vez.
• P(B2|B1) é a probabilidade de retirar uma bola branca na segunda vez, sabendo que a primeira foi branca.

Como a urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas, temos que:

• P(B1) = 4/9, pois há 4 bolas brancas entre 9 bolas totais.
• P(B2|B1) = 3/8, pois após retirar uma bola branca, restam 3 bolas brancas entre 8 bolas totais.

Substituindo na fórmula, obtemos:

• P(BB) = 4/9 * 3/8
• P(BB) = 12/72
• P(BB) = 1/6

Portanto, a probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas vale 1/6.

Uma outra solução seria:

A probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Como as bolas são sacadas sem reposição, o número de casos possíveis é o número de maneiras de escolher duas bolas entre as nove disponíveis, ou seja, uma combinação de 9 elementos tomados 2 a 2. Isso pode ser calculado usando a fórmula:

onde n! é o fatorial de n, definido como o produto de todos os números naturais de 1 até nn. Assim, temos:

O número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher duas bolas brancas entre as quatro disponíveis, ou seja, uma combinação de 4 elementos tomados 2 a 2. Usando a mesma fórmula, temos:

Portanto, a probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas é:

A resposta correta é a letra D) 7/120

Uma forma de resolver essa questão é considerar que existem apenas 7 combinações de 3 bolas cuja soma dos números é menor ou igual a 9, como por exemplo:

1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 4 = 8
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9

O número total de combinações possíveis de 3 bolas é dado pelo coeficiente binomial de 10 sobre 3, que é:

C(10,3) = 10! / (3! x (10 – 3)!) = 120

A probabilidade é então a razão entre os casos favoráveis e o número total de casos, ou seja:
P = 7 / 120

A resposta correta é a letra E) 1/35

Existem duas maneiras de arranjar os 8 lugares de um banco de forma que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo: alternando homens e mulheres, como MHMHMHMH ou HMHMHMHM. Nesses casos, os homens podem trocar de lugar entre si, e as mulheres também, sem alterar a condição. Portanto, o número de casos favoráveis é dado por:

casos favoráveis = 2 x (4! x 4!) = 2 x (24 x 24) = 1152

O número total de casos possíveis é dado pelo número de maneiras de arranjar 8 pessoas em 8 lugares, ou seja, o fatorial de 8:

casos totais = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

A probabilidade é dada pela razão entre os casos favoráveis e os casos totais:

probabilidade = casos favoráveis / casos totais = (2 x 4! x 4!) / 8! = 1 / 35