Questões Sobre Poliedros - Matemática - 3º ano do ensino médio

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1) Determine a área da superfície do primeiro comprimido em cm², sabendo que: o comprimento da circunferência é C = 2πR e área de superfície esférica: A = 4πR²

A) 3 $π$ /4
B) 3 $π$
C) 3 $π$ /2
D) 2 $π$
E) $π$

A alternativa correta é letra E

A_{t} = A_{e} + A_{c} A_{t} = 4 π R^{2} + c . l A_{t} = 4 π (0, 25)^{2} + (2 π R) . (2 - 2.0, 25) A_{t} = 0, 25 π + 0, 5 . π . 1, 5 A_{t} = 0, 25 π + 0, 75 . π A_{t} = π

Alternativa correta é a Letra E

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2) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se θ, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando θ= 90° é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de θ é, necessariamente, igual a

A) 15°.
B) 22,5°.
C) 30°.
D) 45°.
E) 60°.

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A alternativa correta é letra C

I) Sendo b e H as medidas da base e da altura,respectivamente, do primeiro paralelogramo,temos: b . H = A

II) Sendo b e h as medidas da base e da altura respectivamente, do segundo paralelogramo, e sendo A’ a sua área, temos: b . h = A’

III) Como sen θ=

h over H

⇒h = H . sen θe A’ =

A over 2

, temos:

b space. space h equals fraction numerator b. h over denominator 2 end fraction rightwards double arrow b space. space H. space s e n space theta equals fraction numerator b space. space H over denominator 2 end fraction rightwards double arrowrightwards double arrow s e n space theta equals 1 half rightwards double arrow theta space equals 30 º comma space p o i s space theta space é space a g u d o.

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo.

3) Observe na figura o “poliedro bola”, poliedro convexo de 32 faces formado apenas por pentágonos e hexágonos regulares. Por sua semelhança com uma esfera, sua forma é utilizada na confecção de bolas de futebol. Sabendo que o “poliedro bola” possui, ao todo, 90 arestas, é correto concluir que os números de faces pentagonais e hexagonais são iguais, respectivamente, a:

Observe na figura o “poliedro bola”, poliedro convexo de 32 faces formado apenas por pentágonos e hexágonos regulares. Por sua semelhança com uma esfera, sua forma é utilizada na confecção de bolas de futebol. Sabendo que o “poliedro bola” possui, ao todo, 90 arestas, é correto concluir que os números de faces pentagonais e hexagonais são iguais, respectivamente, a:

A) 8 e 24.
B) 12 e 20.
C) 16 e 16.
D) 18 e 14.
E)10 e 22

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A alternativa correta é letra B

Pela relação de Euler sabemos que:

V - A + F = 2 V - 90 + 32 = 2 V = 60

Pela figura sabemos que a cada vértice encontramos uma figura pentagonal, logo para saber a a quantidade de faces pentagonais devemos dividir por 5, ou seja:

P = \frac{60}{5} = 12

Para cada vértice encontramos 2 figuras hexagonais, podemos realizar o mesmo processo mas devemos dobrar a quantidade

H = \frac{2.60}{6} = 20

Alternativa correta é a Letra B

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4) O tetra-hexaedro é um sólido convexo limitado por 4 faces triangulares e 6 hexagonais, todas regulares. O número de arestas e vértices desse sólido é:

A) A = 21 V = 13
B) A = 24 V = 16
C) A = 48 V = 40
D) A = 32 V = 24
E) A =34 V = 24

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A alternativa correta é letra B

O número de arestas é dado pela multiplicação da quantidade de arestas de cada face pela quantidade em cada face dividido por 2, devido ao fato de que cada aresta delimita duas faces, logo:

A = \frac{4 . T + 6 . H}{2} A = \frac{4.3 + 6.6}{2} A = 24

Já por euler temos:

V + F = A + 2 V = 24 + 2 - (4 + 6) V = 16

Alternativa correta é a Letra B

5) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale:

A) 6
B) 4
C) 5
D) 12
E) 9

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A alternativa correta é letra B

Todo poliedro convexo segue a seguinte relação:

N = 2A (I)

onde N é o número de ângulos das faces do poliedro.

O problema diz que

F = 2/3A ∴ A = 3F/2 (II)

e que a soma de todos os ângulos da face é igual a 720º.

Substituindo II em I temos:

N = 2(3F/2) ∴ N = 3F

Significa que cada face tem 3 ângulos, ou seja a face é um triângulo. A soma dos ângulos de um triângulo é sempre ingual a 180º. Assim, 720º/180º, resultado em um poliedro com 4 faces. Alternativa B.

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6) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12

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A alternativa correta é letra C

Contanto o numero de arestas temos, lembrando que devemos usar metade desse número pois cada aresta está entre duas faces, sendo contada duas vezes se relacionada com as faces:

A = \frac{3 T + Q + P + 2 H}{2} A = \frac{3.3 + 4 + 5 + 2.6}{2} A = 15

Da relação de Euler tiramos:

V + F = A + 2 V = 15 + 2 - 7 V = 10

Alternativa correta é a Letra C

7) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a:

A) 102
B) 106
C) 110
D) 112

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A alternativa correta é letra D

O dodecaedro possui 12 faces, assim, dois dodecaedros possuem juntos 24 faces. Como os dados estão justapostos, foram suprimidas 2 faces (uma de cada dado). Dessa forma, o poliedro possuirá F = 22. Também, o dodecaedro possui 30 arestas, dessa forma, dois dodecaedros possuem juntos 60 arestas. Como os dados estão justapostos, foram suprimidas 5 faces (de apenas um dado). Assim sendo, o poliedro possuirá A = 55. E, por fim, o dodecaedro possui 20 vértices, assim, dois dodecaedros possuem juntos 40 vértices. Como os dados estão justapostos, foram suprimidas 5 vértices (de apenas um dado). Dessa forma, o poliedro possuirá V = 35. Assim,

F + A + V = 22 + 55 + 35 = 112

Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

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8) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é:

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

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A alternativa correta é letra C

Primeiro vamos calcular o número de arestas. São quatro faces triangulares (4 x 2 = 12 arestas), duas faces quadrangulares (2 x 4 = 8 arestas) e uma face hexagonal (6 arestas). Somando, temos 23 arestas. Temos que dividir este número de arestas por 2 pois, no poliedro, a cada duas arestas das faces, tem-se uma aresta (no poliedro), Assim, o número de arestas do poliedro é 13. Pela relação de Euler: V + F = A + 2, tem-se que: V = 13 + 2 - 7 = 8 vértices.

9) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares é igual a:

A) 10.
B) 12.
C) 40.
D) 20.
E) 8.

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A alternativa correta é letra A

Para resolvermos este exercício, vamos definir que F:faces, A:arestas e V:vértices. Com isso, utilizando a relação de Euler que é dada por A+2=V+F, podemos definir o número de vértices, já que pelo enunciado somos capazes de definir F e A.

A = \frac{8.3 + 4.4}{2} = 20 F = 8 + 4 = 12 V = A + 2 - F V = 20 + 2 - 12 V = 10

Portanto alternativa A.

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10) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é:

Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é:

A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.

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A alternativa correta é letra C

O número total de faces é 4 + 2 + 1 = 7 faces.
O número total de arestas é:

Nas 4 faces triangulares: 3 x 4 = 12,
Nas 2 faces quadrangulares: 4 x 2 = 8,
Na 1 face hexagonal: 1 x 6 = 6.

Entretanto, cada aresta está em contato com outra, então nossa contagem está dobrada. Assim, no poliedro existem

\frac{12 + 8 + 6}{2} = 13

arestas.

Agora, utilizando a identidade de Euler, temos que

F + V - A = 2,

onde F é o número de faces, V é o número de vértices e A é o número de arestas. Então temos:

7 + V - 13 = 2

\Rightarrow

V = 8.

Portanto, o poliedro possui 8 vértices, alternativa C.

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