Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

A alternativa correta é letra C

A alternativa correta é letra C

A alternativa correta é letra C

A alternativa correta é a letra C) 15/8

Para encontrar o valor da soma x + y + z, precisamos saber os valores de x, y e z. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n−1)⋅r

Onde:

• a_n​ é o enésimo termo da PA
• a₁​ é o primeiro termo da PA
• n é o número de termos da PA
• r é a razão da PA

Nessa questão, temos que:

• A sequência (x, 1, y, 1/4, z) tem 5 termos, ou seja, n=5
• O primeiro termo é x, ou seja, a₁ = x
• O segundo termo é 1, ou seja, a₂ = 1
• O terceiro termo é y, ou seja, a₃ = y
• O quarto termo é 1/4, ou seja, a₄ = 1/4
• O quinto termo é z, ou seja, a₅ = z

Para encontrar o valor de r, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do segundo e do quarto termo:
a₂ = a₁ + (2−1)⋅r
1 = x + r
a₄ = a1 + (4−1)⋅r
1/4 = x + 3r

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

Podemos resolver esse sistema por substituição, eliminando uma das incógnitas. Por exemplo, isolando x na primeira equação, temos:
x = 1 − r

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
1/4 = (1 − r) + 3r
1/4 = 1 + 2r
−3/4 = 2r
r = −3/8

Agora que sabemos o valor de r, podemos substituir na expressão de x e obter:
x = 1 − (−3/8)
x = 1 + 3/8
x = 11/8

Para encontrar o valor de y e z, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do terceiro e do quinto termo:
a₃ = a₁ + (3−1)⋅r
y = x + 2r
y = 11/8 + 2⋅(−3/8)
y = 11/8 − 6/8
y = 5/8

a₅ = a₁ + (5−1)⋅r
a₅ ​= a₁ ​+ (5−1)⋅r
z = x + 4r
z = 11/8 + 4⋅(−3/8)
z = 11/8 − 12/8
z = −1/8

Portanto, o valor da soma x + y + z é:
(x + y + z) = ( 11/8 + 5/8 − 1/8)
(x + y + z) = (15/8)

A alternativa correta é a letra C.

A alternativa correta é a letra A)-34.

Para encontrar o valor do primeiro termo de uma PA finita, podemos usar a fórmula do termo geral:
a_n = a₁ + (n−1)⋅r

Onde:

1. a_n​ é o enésimo termo da PA
2. a₁​ é o primeiro termo da PA
3. n é o número de termos da PA
4. r é a razão da PA

Nessa questão, temos que:

• n = 39
• a₃₉ = 196
• a₂₀​ = 81 (o termo central é o vigésimo termo, pois 20 = (39+1) / 2)

Para encontrar o valor de r, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do termo central:
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)⋅r
81 = a₁ + 19⋅r

Para encontrar o valor de a₁​, podemos usar a fórmula do termo geral com os dados do último termo:
a₃₉ = a₁ + (39 − 1)⋅r
196 = a₁ + 38⋅r

Agora, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

Podemos resolver esse sistema por substituição, eliminando uma das incógnitas. Por exemplo, isolando a₁​ na primeira equação, temos:
a₁ = 81 − 19⋅r

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:
196 = (81 − 19⋅r) + 38⋅r
196 = 81 + 19⋅r
115 = 19⋅r
r = 115 / 19

Agora que sabemos o valor de r, podemos substituir na expressão de a₁ e obter:
a₁ = 81 − 19 ⋅ 115 / 19
a₁ = 81 − 115
a₁ = −34

Portanto, o valor do primeiro termo da PA finita é -34. A alternativa correta é a letra A.

A alternativa correta é a letra C) 42.

A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma PA é:

a_n = a₁ + (n − 1) * r

onde a_n​ é o enésimo termo, a₁​ é o primeiro termo, n é o número de termos e r é a razão.

A fórmula para encontrar a soma dos n primeiros termos de uma PA é:

onde S_n​ é a soma dos n primeiros termos, a₁​ é o primeiro termo, a_n​ é o enésimo termo e n é o número de termos.

Para resolver essa questão, vamos usar essas fórmulas e as informações dadas. Sabemos que:
S₅ = −30
S₁₀ = 40

Substituindo as fórmulas, temos:

Simplificando, temos:
a₁ + a₅ = −12
a₁ + a₁₀ = 8

Agora, vamos usar a fórmula do termo geral para expressar a₅​ e a₁₀​ em função de a₁​ e r. Temos:
a₅ = a₁ + 4r
a₁₀ = a₁ + 9r

Substituindo na equação da soma, temos:
a₁ + a₁ + 4r = −12
a₁ + a₁ + 9r = 8

Simplificando, temos:
2a₁ + 4r = −12
2a₁ + 9r = 8

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos que:
a₁ = −14
r = 4

Portanto, o primeiro termo da PA é -14 e a razão é 4. Agora, podemos usar esses valores para encontrar o décimo quinto termo da PA. Usando a fórmula do termo geral, temos:

a₁₅ ​= a₁ ​+ (15−1)r
a₁₅ = −14 + 14 × 4
a₁₅ = −14 + 56
a₁₅ = 42

Logo, o décimo quinto termo da PA é 42. A alternativa correta é a letra C.

A alternativa correta é a letra D) 66.

A questão pede para encontrar a soma do sexto com o décimo primeiro termo de uma PA, sabendo que a soma do segundo com o quinto termo é 30 e a soma do quarto com o oitavo termo é 48.

Para resolver esse problema, podemos usar as fórmulas da PA para encontrar o primeiro termo e a razão da sequência. Depois, podemos usar esses valores para calcular os termos desejados e somá-los.

Primeiro, vamos escrever as somas dadas em função do primeiro termo e da razão:

a₂ ​+ a₅ ​= 30
a₄ + a₈ = 48

Lembrando que o termo geral de uma PA é dado por:
a_n = a₁ + (n−1)⋅r

Podemos substituir os termos nas somas e obter um sistema de equações:
a₁​ + r + a₁ ​+ 4r = 30
a₁ + 3r + a₁ + 7r = 48

Simplificando, temos:
2a₁ + 5r = 30
2a₁ + 10r = 48

Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de a₁​ e r:
a₁ = 6
r = 18 / 5

Agora que temos o primeiro termo e a razão da PA, podemos calcular o sexto e o décimo primeiro termo usando a fórmula do termo geral:

a₆ = a₁ + 5r = 6 + 5⋅185 = 24
a₁₁ = a₁ + 10r = 6 + 10⋅185 = 42

Finalmente, podemos somar esses dois termos e obter a resposta da questão:
a₆ + a₁₁ = 24 + 42 = 66

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Alternativa correta letra D) 225 cm.

Os comprimentos dos degraus, em cm, são termos consecutivos de uma P.A, onde a₁ = 30 e o a₅ = 60. Assim a soma desses comprimentos, em cm, é dada por:

Onde S_n​ é a soma dos n termos, a₁ é o primeiro termo, a_n​ é o último termo e n é o número de termos.

Nesse caso, temos que n=5, a₁ = 30 e a₅ ​= 60. Substituindo na fórmula, temos:

Portanto, o comprimento mínimo da peça de madeira é 225 cm.

A alternativa correta é letra A) 8; 87.

Para resolver essa questão, vamos chamar os três primeiros termos da PA de a, b e c. Assim, temos as seguintes informações:

• a + b + c = 69
• 2a + c = 61
• b – a = c – b (razão da PA)

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:

b – a = 8

Portanto, a razão da PA é 8. Agora, podemos substituir esse valor na segunda equação e encontrar o valor de a:

2a + c = 61
2a + (a + 16) = 61
3a = 45
a = 15

Logo, os três primeiros termos da PA são: 15, 23 e 31.

Para encontrar o décimo termo da PA, podemos usar a fórmula do termo geral

a_n = a₁ + r(n – 1)
a₁₀ = 15 + 8(10 – 1)
a₁₀ = 15 + 72
a₁₀ = 87

Assim, a alternativa correta é a letra A) 8; 87.

A alternativa correta é a letra D) 23.

Primeiro, vamos encontrar o último termo da PA, que é a₂₀​. Para isso, vamos usar a fórmula da soma dos termos da PA:

Onde S_n​ é a soma dos n primeiros termos, a₁​ é o primeiro termo, a_n​ é o último termo e n é o número de termos.

Nesse caso, temos que S₂₀ = 480, a₁ ​= 5 e n = 20. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Multiplicando os dois lados por 2, temos:
960 = ( 5 + a₂₀) * 20

Expandindo o produto, temos:
960 = 100 + 20 * a₂₀

Subtraindo 100 dos dois lados, temos:
860 = 20 * a₂₀

Dividindo os dois lados por 20, temos:
43 = a₂₀

Portanto, o último termo da PA é a₂₀ = 43.

Agora, vamos encontrar a razão da PA, que é rr. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:
a_n = a₁ + (n−1) * r

Onde a_n​ é o n-ésimo termo, a₁​ é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.

Nesse caso, podemos usar qualquer termo da PA que conhecemos para encontrar r. Vamos usar o último termo, que é a₂₀ = 43. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
43 = 5 + (20 − 1) * r

Simplificando, temos:
43 = 5 + 19r

Subtraindo 5 dos dois lados, temos:
38 = 19r

Dividindo os dois lados por 19, temos:
2 = r

Portanto, a razão da PA é r=2.

Finalmente, vamos encontrar o décimo termo da PA, que é a₁₀​. Para isso, vamos usar novamente a fórmula do termo geral da PA:

a_n=a₁ + (n − 1) * r

Nesse caso, temos que n = 10, a₁​ = 5 e r = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
a₁₀ = 5 + ( 10 − 1) * 2

Simplificando, temos:
a₁₀ = 5 + 18

Somando, temos:
a₁₀ = 23

Portanto, o décimo termo da PA é a₁₀ = 23.

Assim, a alternativa correta é a letra D.