Questões Sobre Probabilidade - Matemática - 2º ano do ensino médio

A resposta correta é a alternativa C) 7/11.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a probabilidade de escolher 3 professores do grupo de 12, de modo que no máximo um deles seja de matemática. Isso significa que podemos ter duas situações possíveis: ou escolhemos 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas, ou escolhemos 3 professores de outras disciplinas.

Para calcular a probabilidade de cada situação, usamos a fórmula da combinação, que é uma forma de contar quantos subconjuntos diferentes podemos formar com um conjunto maior, sem levar em conta a ordem dos elementos. A fórmula da combinação é:

Onde n é o número de elementos do conjunto maior, e p é o número de elementos do subconjunto.

No nosso caso, temos que n=12, pois é o número total de professores do grupo, e p=3, pois é o número de professores que vamos escolher. Então, o número total de combinações possíveis é:

Agora, vamos calcular a probabilidade de escolher 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas. Para isso, temos que multiplicar a combinação de 1 professor de matemática entre os 5 disponíveis pela combinação de 2 professores de outras disciplinas entre os 7 disponíveis. Ou seja:

Portanto, a probabilidade de escolher 1 professor de matemática e 2 de outras disciplinas é:

P₁ = 105/220 = 21/44

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de escolher 3 professores de outras disciplinas. Para isso, temos que fazer a combinação de 3 professores entre os 7 disponíveis. Ou seja:

Portanto, a probabilidade de escolher 3 professores de outras disciplinas é:

P₂ = 35/220 = 7/44

Finalmente, para calcular a probabilidade de no máximo um professor ser de matemática, temos que somar as probabilidadesdas duas situações possíveis. Ou seja:

P = P₁ + P₂ = 21/44 + 7/44 = 28/44 = 7/11

Assim, a resposta correta é a alternativa C) 7/11.

A alternativa correta é a letra C) 5/18

A probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor é dada pela soma das probabilidades de cada cor possível, ou seja:

P(mesma cor) = P(verde e verde) + P(amarelo e amarelo) + P(preto e preto)

Para calcular a probabilidade de cada cor, precisamos usar a regra do produto e a regra da contagem, considerando que não há reposição das bolas. Por exemplo, a probabilidade de tirar duas bolas verdes é:

P(verde e verde) = P(verde na primeira retirada) x P(verde na segunda retirada)

P(verde na primeira retirada) = 3/9, pois há 3 bolas verdes em um total de 9 bolas.

P(verde na segunda retirada) = 2/8, pois após retirar uma bola verde, restam 2 bolas verdes em um total de 8 bolas.

P(verde e verde) = 3/9 x 2/8 = 6/72

Da mesma forma, podemos calcular as probabilidades das outras cores:

P(amarelo e amarelo) = 4/9 x 3/8 = 12/72

P(preto e preto) = 2/9 x 1/8 = 2/72

Somando as probabilidades, obtemos:

P(mesma cor) = 6/72 + 12/72 + 2/72 = 20/72

Simplificando a fração, chegamos à resposta final:

P(mesma cor) = 5/18

A alternativa correta é a letra E) 1/2.

A probabilidade de escolher um grupo de 2 alunos composto por uma menina e um menino é dada pela razão entre o número de grupos possíveis com essa composição e o número total de grupos de 2 alunos que se pode formar com os 25 alunos da turma.

O número de meninas na turma é 40% de 25, ou seja, 10. O número de meninos é 25 – 10, ou seja, 15.

O número de grupos possíveis com uma menina e um menino é dado pelo produto entre o número de maneiras de escolher uma menina entre as 10 e o número de maneiras de escolher um menino entre os 15. Isso é igual a 10 x 15, ou seja, 150.

O número total de grupos de 2 alunos que se pode formar com os 25 alunos da turma é dado pelo coeficiente binomial 25 escolhe 2, que é igual a 25 x 24 / 2, ou seja, 300.

Portanto, a probabilidade de escolher um grupo de 2 alunos composto por uma menina e um menino é 150 / 300, ou seja, 1/2.

A alternativa correta é a B) 37,5%.

Para calcular essa probabilidade, precisamos saber o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. O número de casos possíveis é o total de resultados diferentes que podemos obter ao lançar 4 moedas, que é igual a 2^4 = 16. O número de casos favoráveis é o total de resultados que têm exatamente 2 caras e 2 coroas, que é igual a 6. Podemos ver isso na tabela abaixo:

A probabilidade é igual à razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, ou seja:

P(2 caras e 2 coroas) = 6/16 = 0,375 = 37,5%

A alternativa correta é a letra D) 9/14

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula de combinação, que é uma das técnicas da análise combinatória. A combinação é um tipo de agrupamento em que a ordem dos elementos não importa, apenas a sua presença ou ausência. A fórmula de combinação é dada por:

Onde n é o número total de elementos e p é o número de elementos escolhidos.

No caso do problema, temos que n=8, pois são 8 atletas classificados, e p=3, pois são 3 medalhas. Portanto, o número total de combinações possíveis é:

Agora, vamos calcular o número de combinações favoráveis, ou seja, aquelas em que pelo menos um brasileiro está entre os três primeiros colocados. Para isso, vamos usar o complemento, que é o inverso do evento desejado. O complemento de pelo menos um brasileiro é nenhum brasileiro, ou seja, os três primeiros colocados são todos estrangeiros. Nesse caso, temos que n=6, pois são 6 atletas estrangeiros, e p=3, pois são 3 medalhas. Então, o número de combinações do complemento é:

Logo, o número de combinações favoráveis é o total menos o complemento, ou seja:
56 − 20 = 36

Finalmente, a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é a razão entre o número de combinações favoráveis e o número de combinações totais, ou seja:

P = 36/56 = 9/14

Portanto, a alternativa correta é a letra D) 9/14.

Alternativa correta é a letra C) 23 / 30

A probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola é a mesma que a probabilidade de o número sorteado não ser múltiplo de 6 nem de 10. Para isso, basta contar quantos números entre 1 e 600 não são divisíveis por 6 ou por 10. Esses números são os que não têm 2, 3 ou 5 como fatores primos.

Uma maneira de fazer isso é usar o princípio da inclusão-exclusão, que diz que o número de elementos em uma união de conjuntos é igual à soma dos números de elementos em cada conjunto menos a soma dos números de elementos nas interseções dos conjuntos. Assim, temos:

N(1, 600) = 600 N(múltiplos de 6) = 600 / 6 = 100 N(múltiplos de 10) = 600 / 10 = 60 N(múltiplos de 6 e 10) = 600 / 30 = 20 N(não múltiplos de 6 nem de 10) = N(1, 600) – N(múltiplos de 6) – N(múltiplos de 10) + N(múltiplos de 6 e 10) = 600 – 100 – 60 + 20 = 460

Portanto, a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola é:

P(não ganhar nenhuma bola) = N(não múltiplos de 6 nem de 10) / N(1, 600) = 460 / 600 = 23 / 30

Portanto, a alternativa correta é a letra C) 23 / 30

A resposta correta é a alternativa A) 1/12

A probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10 é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Os casos possíveis são todas as combinações de dois dados, que são 6 x 6 = 36.

Os casos favoráveis são as combinações que somam 10, que são (4, 6), (5, 5) e (6, 4), que são 3.

Portanto, a probabilidade é 3/36, que pode ser simplificada para 1/12. A resposta correta é a alternativa A.

Alternativa correta letra A) 11 / 38

Para calcular a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar, precisamos considerar dois casos:

• Os dois números são ímpares, como 3 e 5.
• Um dos números é ímpar e o outro é zero, como 7 e 0.

Em ambos os casos, o produto será ímpar. Por exemplo, 3 × 5 = 15 e 7 × 0 = 0.

Agora, vamos contar quantas possibilidades existem para cada caso.

• Há 10 números ímpares de 1 a 20: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 e 19. Para escolher dois deles, sem repetição, temos 10 × 9 = 90 combinações possíveis.
• Há apenas um zero de 1 a 20. Para escolher um zero e um número ímpar, temos 2 × 10 = 20 combinações possíveis, pois podemos ter o zero em primeiro ou em segundo lugar.

Portanto, o total de casos favoráveis é 90 + 20 = 110.

O total de casos possíveis é o número de formas de escolher dois números distintos de 1 a 20, sem repetição. Isso é igual a 20 × 19 = 380.

Assim, a probabilidade de que o produto seja ímpar é dada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis:

P = 110 / 380 = 11 / 38

A alternativa correta é a letra D) 3/10.

Para resolver esse problema, precisamos saber quais são os números primos entre 1 e 50. Uma forma de encontrar esses números é usar o método do Crivo de Eratóstenes, que consiste em eliminar os múltiplos dos números naturais, começando pelo 21. Seguindo esse método, os números primos entre 1 e 50 são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.

Portanto, há 15 números primos entre 1 e 50. A probabilidade de retirar um cartão com um número primo é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Nesse caso, o número de casos favoráveis é 15 e o número de casos possíveis é 50. Logo, a probabilidade é:

P = 15/50 = 3/10

Assim, a alternativa correta é a letra D)3/10.

A alternativa correta é a letra C) 80%.

A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é igual à probabilidade da união desses dois eventos. Para calcular essa probabilidade, podemos usar a fórmula:

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Onde A é o evento de ser um número maior que 40 e B é o evento de ser um número par.

Para encontrar P(A), basta contar quantos números são maiores que 40 entre 1 e 100. Há 60 números assim, portanto P(A) = 60/100 = 0,6.

Para encontrar P(B), basta contar quantos números são pares entre 1 e 100. Há 50 números assim, portanto P(B) = 50/100 = 0,5.

Para encontrar P(A e B), basta contar quantos números são maiores que 40 e pares entre 1 e 100. Há 30 números assim, portanto P(A e B) = 30/100 = 0,3.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

P(A ou B) = 0,6 + 0,5 – 0,3 P(A ou B) = 0,8

Portanto, a probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é 0,8, ou 80%.